III

ALGÈBRE ÉLÉMEM'AIRE.

Je regarde comme les inconnues du problème. J’ajouie

les deux premières équations membre à membre, je retranche la troisième de leur somme. J’obtiens

d’où

bc + rtf — ab abc

labc

bc ac — ab

Les considérations de symétrie déjà indiquées ( 14 ^ 1 ) prouvent qu’on passera de la valeur de x à celle de y, en remplaçant x par y et en permu.tant circulairement les lettres a, c, b. 11 viendra

2 abc

ac -i- ah — bc

On passera de la valeur de r à celle de z de la même manière et l’on trouvera

2 abc

ab + bc — ac

Les trois ouvriers réunis font, en un jour, une fraction de l’ou-

vrage représentée par - 4 ---

vrage en

— jours, c’est-à-dire en —r I ' ab

• Ils feront donc tout l’ou- 2 abc

■ ac

■ bc

jours.

147 . Trois joueurs conviennent qu’à chaque partie le perdant doublera l’argent des deux autres. Ils peident tour à tour une partie, et quittent le jeu avec la même somme a. Quelle était leur mise à chacun au commencement du jeu ?

Je désigne j)ar x, y, z, les trois mises initiales. Si le premier joueur perd In première partie, il ne lui restera plus qu’une somme x —y — z ; lesdeux autres joueurs, ayantdoublé leur# mises, auront 2y et 9 .z.

Le second joueur perdant à son tour n’aura plus que 2y — [x — V — z] — 23 , c’est-à-dire 3 k — x — 3; le premier joueur aura une somme 2,r — 2 k— 23, le troisième une somme 4 z.

Enfin, la troisième partie réduira la mise du troisième joueur à 42 — (2X — 2K— 22) —(- 3 k — X — z), c’est-à-dire à 73 — ar — k; les mises du premier et du second joueur deviendront en même temps ^x — ^y — I\z et 6 k — 2x — 23.

D’après l’énoncé, toutes les mises à la lin de la troisième partie sont égales à a. Les trois é<piations du problème seront

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3oo

donc

M.OÈBKE ÉLÉMEINTAIRE.

On peut simplifier le calcul en remarquant que le jeu ne change pas la somme totale des trois mises, mais seulement leur répartition, et qu’on a dès lors

.r -f- + 3 = 3rt.

On pourra remplacer par cette équation auxiliaire l’une quelconque des équations du système : on l’aurait d’ailleurs* obtelenue, en les ajoutant toutes les trois memlire à membre.

•le considérerai donc le système

X V Z = 3 tt,

qj" — 4 >* — 4^ = ‘f’

Si j’ajoute membre à membre la première équation et la troisième, j’obtiens

d’où

Les deux premières équations deviendront alors *, ^ 4« 2o«

— 3ft — Z =■ 3 rt ^ — g- 7

, , , iGo iLa

Si l’on multiplie les deux membres de la première par 4, et si on ajoute ensuite membre .à membre les deux équations, on trouve

Hx=z

Sort

24 rt I o4 (I ~8 ““8“’

d’oii

i3rt

La première éiiuation donne alors

) = 3 rt — X — Z = 3n

Les trois valeurs cbeicbéi's sont donc • i3« 7rt 4"

4 « 7 rt

ai.oLuhk éi.émektairii.

3oi

Oii peut facileineiu géiu*n»liser la qucslion el trouver les forimiles qui correspondent au cas de n joueurs, en employant immédiatement l’équation auxiliaire