t- fio

loo — i8

151. Ou peut facilement retrouver les deux formules fténéi-ales qu’on vient d’indiquer.

On remarque que les valeurs de x et de >• ont le même dénominateur. On forme ce dénominateur commun comme il suit. On écrit les deux arrangements ab et ba des coefficients des inconnues dans la première équation, on sépare ces arrangements par le signe — , et on accentue la dernière lettre de chacun d’eux : on obtient ainsi ab' — ba'.

Pour former le numérateur de chaque inconnue, on n’a qu’à remplacer dans le dénominateur commun les coefficients de cette inconnue par les seconds membres correspondants. Ainsi, pour avoir le numérateur de la valeur de x, on devra remplacer dans le dénominateur ab' — baf les lettres «et a' par c et c', et l’on obtiendra cb' — bc'. De même pour avoir le numérateur de la valeur de r. on devra remplacer dans le même dénominateur les lettres b et b' par c et c', et l’on aura ainsi ac' — ca'.

Si les formules générales conduisent pour x et j à des valeurs positives ou négatives, ces valeurs satisferont nécessairement aux équations proposées, comme on peut s’en convaincre en remarquant (ju’on arrive à des identités en substituant les valeurs générales de x et de j dans les deux équations ax + by= c, a'x -h b’y = c'.

Mais les valeurs mises à la place des lettres a, b, c, a', b', c', peuvent conduire pour x et j'' à des valeurs singulières qu’il s’agit d’interpréter. Ces valeurs particulières se présenteront lorsque l’un des termes des expressions fractionnaires considérées ou tous les deux deviendront nuis.

152. 1 °. Considérons le cas où l'un des numérateurs ou tous les deux sont nuis, sans que le dénominateur commun le soit et sans que les équations proposées cessent de renfermer deux inconnues.

Supposons d’abord qu’on ail cb' — bc' = o, en même temps que ac' — ca' eiab' — ba' différentsde zéro. La valeur dcar sera

nulle, la valeur de y sera égale à

” ah — ba

Revenons aux équations

ax -+- bj‘ = c, a X -H h'y = c'.

3o6 alcLbre élémentaike.

Je nuilliiilie la |)i oniièi e par seconde par h : il vieiil ah'x + bh'y — ch', hn'x + hb'y = ht'.

On voit alors t|ue les termes en v sont idenlicines dans les deux (ûjuations, ainsi que les termes indépendants, tandis (|ue les coefficients de l’inconnue .rsont différents. Les deux équations devant être satisfaites par les mêmes valeurs de x et de r, il faut nécessairemein que la valeur de^ soit égale à zéro. On a dans ce cas

' r ■ ne* — en'

Mais si l’on introduit dans la formule generale =

ab — h(T

la condition ch' — bc' — o, en remplaçant c par -p-» il vient aussi

, bc'a'

ET nb'c' - ha' c' c'(ab' — bn') c'

^ nh' — ha' h' [ab' — bn'] b' ( ab' — ba') b'

Les deux numérateurs seraient nuis, sans que le dénominateur commun le fût et sans que les deux équations cessassent de renfermer deux inconnues, si l’on avait

c=o et c'=o.

Dans ce cas, les valeurs générales de x et de >■ seraient milles toutes les deux. Les équations deviendraient

ax -4- by = o, a'x -t- b' y — O.

Si l’on multiplie la première par />' et la seconde par />, on a ab'x -4- bh'y = o, ba' X -4- bb'y— o.

Les termes en j sont identiques, les coefficients de x sont différents, il faut donc que la valeur de x soit égale à zéro; mais alors il en est forcément de même pour la valeur de y.

On voit, en résumé, que lorsque les formules générales conduisent à des valeurs nulles, ces valeurs sont admissibles comme toutes les autres valeurs positives ou négatives, et vérifient complètement les équations proposées.

On peut remarquer que les valeurs des inconnues sont nulles, lorsque les seconds membres des équations sont égaux à zéro; et que la valeur de x seule est nulle, lorsque les coefficients dey et les seconds membres des équations sont proportionnels.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 30J

153. 2 “. Supposons mainlenanl que le dénominateur commun soit nul, sans qu’aucun des numérateurs le soit.

Les valeurs de x et de y se présentent alors sous la forme

en posant a part

cb' — bc' = m , ac' — ca' = n.

m et n étant des quantités positives ou négatives différentes de zéro. Ces symboles réunis n’ont pour nous aucune signification. Pour les interpréter, remontons aux équations. Il faut y introduire la condition

c’est-à-dire

ab' — ba' = O,

ab' = ba' ou

Pour cela, nous poserons

et nous remplacerons dans la première équation n par a'q, b par b'q. Les équations proposées prendront alors la forme

a'qx -H b'qy = c, a'x-y b'y = c'.

Le premier membre de la première équation n’est autre chose que le produit par q du premier membre de la seconde. 11 faudrait donc qu’on eût entre les seconds membres la même relation; mais puisque m et n sont différents de zéro, on ne peut . c b . c a

avoir ni = ti* c est-a-dire on ne peut pas avoir

^ = ç ou c — c'q. Il est donc impossible que les deux équations soient satisfaites par les mêmes valeurs des inconnues. On dit alors qu’elles sont incompatibles ou contradictoires. Et les

symboles^ et ~ sont encore ici (125) le signe d’une impossibilité absolue.

Il faut remarquer que l’impossibilité tient à la réunion des deux équations; séparément, elles admettront au contraire chacune une infinité de solutions.

On voit que l’incompatibilité des deu.v équations proposées a lieu, lorsque les coefficients des inconnues dans les deux équations sont proportionnels , les seconds membres de ces équations étant quelconques, c’est-à-dire leur rapport n’étant pas égal au rapport commun des coefficients.

ao.

3o8 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

154-. 3“. Considérons enfin le cas oà le déno/ninaleur commun est nul, en même temps que l'un des numérateurs.

Si l’on a

al)' — ba’ — O Cl ch' — bc' = o.

on pn déduit

c’esl-à-dire qu’on a aussi

— , = -7 ou ac — en — O.

La nullité du dénominateur commun, jointe à celle de l’un des numérateurs, entraîne donc en general la nullité du second numérateur; de sorte que les valeurs des deux inconnues se présentent sous la même forme et qu’on a

Ces symboles réunis n’ont pour nous aucune signification. Pour les interpréter, remontons aux équations. Il faut y introduire les conditions

c’esl-à-dire

ab'—ba' = o et cb' — bc' — o,

abc a' b' c'

Représentons celle suite de rapports égaux par q. Nous aurons a — a'q, h = b'q, c = c'q.

Les deux équations prendront donc la forme

a'qx 4- b'qy= c'q, a'x -H h' y = c' .

On voit alors que la première équation n’est que la seconde multipliée par q, c’est-à-flire que les deux équations proposées n’en font qu’une seule et rentrent l’une dans l’autre. Oii dit, dans ce cas, qu’elles sont indéterminées ou qu’elles forment un système indéterminé (105, 148); et les symboles -

qu’on a obtenus, sont encore ici (125) le signe de l’indétermination.

L’indétermination des équations proposées a lieu, lorsque les coefficients des inconnues forment entre eux et avec les seconds membres une suite de rapports égaux.

AlCÈBRE ÉI.ÉMENTAIRE,

3oy

Cas de trois équatious à trois inconnues.

155. Soienl trois (‘quations générales du premier degré à trois inconnues :

ax -H by + cz ~ d, n'x -+- b' y -I- c'z — d’, a"x -yb”y-yc"z = d".

Nous savons, d’après ce qui précède, que ces équations n’admeitenl, pour les inconnues x, y, z, qu’un seul système de valeurs. Nous allons trouver ces valeurs, sans les rattacher les unes aux autres, en suivant une nouvelle méthode d’élimination très-remarquable, connue sous le nom de méthode des indéterminées.

Multiplions les deux membres de la première équation par une quantité indéterminée /«, dont nous nous réservons de fixer convenablement la valeur; multiplions les deux membres de la seconde équation par une seconde indét(u ininée />; ajoutons ensuite .membre à membre les trois équations données. Nous trouverons

{ arn q- a'p a" ) x 4- ( bni -f- b'p q- b" )y q- ( cm q- c'p q- c") z

= dm q- d'p q- d".

Nous pouvons alors, si nous voulons calculer x, profiter de l’indétermination des^deux quantités m et p pour annuler les coefficients de y cl de z. Posons

bm b'p — — b" ,

cm q- c'p = — c",

èt nous trouverons immédiatement

dmy-d'p-t-d"

mil q- a' P a"

Kemarquons que le numérateur de la valeur de x ne dilTère de son dénominateur que par le changement de a, a" , coefficients de dans les trois équations, en d, d', d", seconds membres correspondants.

Les deux équations entré m et p donnent d'ailleurs, d’après la règle générale indiquée (151),

— — d b " cb" — b c"

Eu substituant ces valeurs dans l’expre.ssion de x et en multipliant les deux termes de celte expression par lu' — cl»', il

vient

ALGÊBUF. ÉLÉMENTAIRE.

,l!b' c' b" ) ( ch" — bc" ] -t d"{bc'—cb ']

a{b’c" — c'h“)->ra' \cb"^bc"]->ra" (bc'—ch']

En rangeant les lettres d’après le nombre de leurs accents, on

trouve . . .

db' c" — de' h" cd' b" — bd' c" hc' d" — cb' d nb'c”—ac' b" -^ca' b" — ba'c" -h bc' a”— cb' a"

On pourait obtenir les valeurs de y et de z en suivant une marche analogue. Mais la forme des équations proposées montre qu’on déduira la valeur'*de';r de celle de .r, en permutant les lettres a et è sans toucher aux accents; de même la valeur de X donnera celle de.z, si l’on permute dans l’expression de X les lettres a et c.

Comme les trois lettres a, b, c, entrent d’une manière identique dans le dénominateur de x, les changehients indiqués ne modifieront dans ce dénominateur que l’arrangement des termes et leur signe. Mais on fera disparaître celte différence en changeant à la fois les signes du numérateur et du dénominateur desNaleurs de.r et de z. Les expressions des trois inconnues auront ainsi le même dénominateur. Les numérateurs de ces trois expressions se déduiront du dénominateur commun en rempla(;anl successivement les lettres a, h, c, par la lettre d, sans loucher aux accents. On aura

ad' c"—ac' d" -\-cu' d" —da'c" -<rdc' a"—cd’ a"

y — ab' c" — «<•' b" -+■ ca' b" — ba' c" -4- bc' a" — cb' a" ’ ab’ d" — ad' b" -H du' b" — ba' d" +bd' a" — db' a" f “ ab' c" — ac' b" -f- eu' b"— ba' c" bc' a" — cb' a"

Il est facile de retrouver le dénominateur commun de ces formules générales. On n’a (pi’à former les arrangements ab et ba, ■ à faire passer la lettre c à toutes les places dans chacun d’eux : on obtiendra ainsi les termes

abc, acb , cab , bac, bca , cba.

On devra ensuite alTecter d’un accent la seconde lettre de chaque produit, ei.de deux accents la troisième lettre; puis, donner alternativement le signe -t- et le signe — aux résiiW lats trouvés. On reformera ainsi le dénominateur commun .

ab' c" — ac' b” -y ca' b" — ba' c" + bc' a" — cb' a" .

Les nuntérateurs se déduiront ensuite de ce dénominateur commun, en v remplaçait les coofficicnls de l’inconnue qu'on cherche par les seconds membres correspondants,

La loi qu’on vient d’énoncer est générale et se poursuit pour

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 3ll

un nombre quelconque d’équalions du premier degré conlcnanl un pareil nombre d’inconnues.

15ü. Nous ne discuterons pas les cas parliculiers que les lormules générales qu’on vient d’établir peuvent présenter. Dans chaque exemple spécial, l’examen des équations proposées permettra une interprétation directe. Nous nous bornerons à considérer le cas où les trois seconds membres sont égaux à zéro. Les équations sont alors

On déduit des deux premières

a x-\-b y= — cz, ii'x-\- b'y = — i:'z,

il’oii, en regardant z comme une quantité connue,

lbc' — cb')z ab'-ba’ '

[ va' — ac' ) Z ab'-ba'

Si l’on substitue ces valeurs dans la troisième équation, elle devient

{u"[bc' — cb') 4- b" [va' — av') +v" ab' — èa')]z = o, c’est-à-dire

. [ ab' V." — av' b" 4- crt' b" — bn’ o" + bv' a"— vb' u" ] 2 = o.

Si le dénominateur commun, coeflicient de z dans réfiualion obtenue, n’est pas nul, il l’aut (|ue z soit égale à zéro, et il en est de même alors des valeurs de v et dé x. Les formules générales coiuluisent au même résultat, puisque tons les termes de leurs numérateurs contiennent l’un des seconds membres d,d',d".

Si le dénominateur commun est nul, l’équation en z se présente sous la forme o.3 = o, et la valeur de z est indéterminée il en est de même alors des valeurs de y et de x. Les formules générales conduisent encore au même résultat.

O qu’il faut remarquer, c’est que les valeurs des inconnues étant indéterminées, les rapports de deux d’entre elles à la troisième ne le sont pas. Les valeurs de x cl de écrites précé-

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3i2 ALGF.DRE ÉLÉMENTAIRK.

ilomnient, donnont (ui elTel

r bc' — cb'

Z ab' — ba' ’

ca’ — ne’

3 ab' — bf/