Soit d’abord connue

l’équation du premier degré à une in- \x -\-h= X'x-hlV.

ALGÉBnE élémentaire. 3i3

Supposons qu’on trouve en la résolvant x= — K . On aura alors

— AK-t-B = — A'Kh-B'.

Il en résulte que x = K est racine de l’équation — A a; -f- B = — A' X + B',

qui ne diffère de l’équation proposée que par le changement lie X en — x.

l’ar suite, (jitand deux équations du premier degré à une inconnue ne diffèrent que par le signe de cette inconnue, elles admettent la même racine sauf le signe.

De même, si le système

ax 6)- = c,

est satisfait par les valeurs x~ h , y= — l, on a ali — i— b ^ — Zj c J

a'l,-yb'[—l) = c', ou

a/l — b 1= c , a' If — b' l =z c'.

Il en résulte que x = If et >• = + Z sont racines du système qui ne diffère du système donné que par le changement de y en — y-

• Le résultat indiqué est général. Toutes les fois que deux systèmes ne diffèrent que parle changement de signe d’une ou de plusieurs inconnues, les racines sont les mêmes en valeur alrsolue : seulement les valeurs des inconnues qui ont changé de signes, ont aussi des signes différents.

Mais l’équation ou le système déduit ainsi de l’équation ou du système donné par de simples changements de signes, peut correspondre au problème proposé entendu dans un sens plus général; et l’on voit par là que la possibilité de donni'r une interprétation rationnelle, aux valeurs négatives trouvées, dépendra de la comparaison de l’énoncé avec le système modifié.

Montrons maintenant dans quel cas les valeurs négatives s’interprètent d’une manière toute naturelle et, pour ainsi dire, évidente; et, pour cela, étudions quelques questions particulières.

159. I. Un mobile partant d’un point donné parcourt successivement sur une ligne donnée plusieurs longueurs données. On demande à quelle distance il se trouve, en dernier lieu, du point de départ.

3l4 ALGÈBI’.E Él-ÉMENTAinE.

Supposons d’abord que le mobile parle du point O el qu’il

marche, toujours en s’éloignant, à droite de ce point.

Si l’on désigne p.1r a, h, c, d, les longueurs OA, AB, BC, t.D, successivement parcourues dans le sens indiqué» el par.r la distance cherchée, on aura immédiatement

Si, au contraire, le mobile marche tantôt dans un sens, tantôt dans l’autre, s’il parcourt la distance a en s’éloignant du point O, puis la distance b en s’en rapprochant, la distance c

en s’eu éloignant encore, et la distance d eu revenant une seconde Ibis sur ses pas , la formule sera

La valeur de x sera encore posith'e, si la dernière position D du mobile se trouve toujours A droite du point O ; mais cette valeur sera au contraire négative et évidemment égale à — 01), si le point D esta gauche du point 0.

Ainsi, le point 1) étant à droite de l’origine choisie 0, la valeur de l’inconnue x est positive ; le point D étant à gauche . de l’origine choisie, la valeur de l'inconnue est négative : le changement de signe correspond au changement de sens.

La valeur négative s’introduit ici par le jeu même du calcul et alors elle a un sens tout aussi net que la valeur positive. On demande de compter une distance à partir d'un point donné ; c’est la position du point donné qui entraîne la possibilité d'une valeur négative. En effet, si au lieu de prendre le point 0 pour origine, on choisissait un point S assez éloigné vers la gauche du point O, pour que le mobile dans ses plus grands écarts à gauche de ce point ne pût jamais dépasser la nouvelle origine, on n’obtiendrait jamais de solution négative. Appelons S la distance OS. Si l’on désigne toujours par x la distance liliale du mobile an point O et parX sa distance finale au point S, on aura dans le premier cas considéré

X = S-f-Æ' = S-t-rt-l-ô-t-c-(-i/=S -4-01), et, dans le dernier,

Car, quand le mobile s’éloigne du point S, on doit ajouter la distance qu’il parcourt à la distance précédente ; el quand il

Al.GÈBIlE ÉLÉMENTAIRE.

s’en rapproche, on doit la relrancher. La valeur de X est d’ailleurs toujours positive, puisque 01), par liApothèse, ne peut jamais égaler S lorsque le point D est situé à gauche du point O ; la valeur de X est seulement plus grande ou plus petite que S. C’est-à-dire que la valeur de a: est (ultlitive ou soustractive, suivant qu’elle est comptée à droite ou à gauche du |joint 0. L’introduction d’une origine fictive S montre bien, dans ce cas, la dépendance qui existe entre le signe de l’inconnue et le sens dans lequel elle doit être comptée.

Nous dirons donc d’une manière générale que lorsqu'une longueur est susceptible d'étre comptée sur une même ligne, à partir d’un même point fixe, dans deux sens nettement différents, le changement de sens sera indiqué algébriquement par le changement de signe; de sorte que si l'on regarde et sJ l’on écrit comme positives dans les équations les longueurs comptées dans un certain sens, d’ailleurs arbitraire, les résultats négatifs indiqueront des longueurs comptées en sens contraire.

Ainsi, le zéro du thermomètre étant pris pour point de départ des températures, + ?.5" signifient a5 degrés au-dessus de zéro, et — z5" signifient a5 degrés au-dessous do zéro.

De même, l'équateur terrestre étant considéré comme point de départ des latitudes, ‘le latitude signilient 4” degrés de latitude Mord, et — signifient 4» degrés de latitude Sud.

Si l’on applique ce qui précède, non-seulement aux incouuues, mais aux quantités données, on pourra réunir dans une seule formule les cas particuliers d’une même question ; et les deux formules précédentes,

JT = fl -I- 4- c -+- (/,

pourront être remplacées par la formule unique X — a ->rb->rc~{-d.

pourvu qu’on convienne de regarder comme négatives ‘les quantités données ou inconnues, lorsqu’elles sont comptées vers la gauche, par exemple, et comme positives celles qui sont comptées vers la droite.

ICO. 11. On donne l'Age d'un père et celui de son fils : on demande à quelle époque le rapport des deux Ages sera égal à m.

•l’appelle a l’àge du père, b celui du fils, .r le nombre d’années cherché. L’équation du problème sera évidemment

d’où

ni.

a x= bm -hmx et

a — bm m — I

3i6 alcèbue élémewtaire.

Le dénominateur de la valeur de x sera toujours positif, m étant toujours supérieur à i ; mais le numérateur de cette valeur sera positif ou négatif, et par suite la valeur de x sera positive ou négative suivant qu’on aura hm ou a<^bm.

Si l’on a a'^hm, on aura aussi Or j étant une

expression fractionnaire, c’est-à-dire une quantité plus grande que I , si l’on augmente ses deux termes d’une même quantité X, elle diminuera et, d’abord plus grande que ni, pourra devenir égale à mx la solution aura lieu Aans l’avenir, elx sera positif.

' Si l’on a, au contraire, a<C.bm, on en déduira Si

l’on ajoute aux deux termes de l’expression fractionnaire ^

une même quantité, cette expression diminuera ; actuellement plus petite que ni, elle s’écartera de plus en plus de cette valeur à mesure qu’on marchera vers l’avenir. Mais, si l’on retranche une même quantité x aux deux termes de cette

expression augmentera et, d’abord plus petite que m, pourra devenir égale à ni. La solution correspondra donc à un temps passé, et x sera négatif.

Ainsi, l’époque demandée étant postérieure au moment présent,-la valeur de aresl positive; cette époque étant antérieure au moment présent, la valeur de x est négative.

La valeur négative s’introduit encore ici par le jeu même du calcul, et alors présente un sens tout aussi net que la valeur positive. On demande de compter les années à partir d’un instant donné ; c’est le choix de cet instant qui entraîne la possibilité d’une valeur négative. En effet, si au lieu de prendre pour origine des temps le moment présent, on choisissait une ère quelconque rejetée assez loin dans le passé, on ne trouverait jamais pour x de valeur négative. Si le nombre d’années qui sépare l’ère adoptée du moment présent est représenté par N et si X est le nombre d’années qui sépare cette ère de l’instant cherché, on aura

a — bm m — I

Si a est > bm, x sera positif, on s’éloignera de l’ère choisie.

Si a est <C bm, x sera négatif, on se rapprochera de la nouvelle origine; mais la valeur de X restera toujours positive, . puisque par hypothèse la valeur absolue de x ne peut jamais égaler N. X sera seulement plus grand ou plus petit que N, c’est-à-dire que la valeur de x sera additive ou soustractive.

ALGÈBRE ÉLÉMEKTAlRE.

suivant qu’elle sera comptée vers l’avenir ou vers le passé. L’introduction d’une origine fictive montre encore bien dans ce cas la dépendance (jui existe entre le signe de l’inconnue et le sens dans lc(|uel elle doit être comptée.

Ainsi, lorsqu’il s’agil d’un temps susceptible d'étre compté vers l'avenir ou vers le passé, à partir d'un moment donné, l’Jlgèbre indique encore l’opposition de sens par l’opposition de signe.

161. De là une règle fondamentale extrêmement importante, sur laquelle Descartes a basé sa géométrie analytique. Lorsqu’on se trouve dans les conditions indi(|uées plus haut, le changement de signe correspond au cbangement de sens, et réciproquement. Cette règle ne peut être directement démontrée; mais elle se vérifie d’une manière constante, dans toutes les branches des sciences mathématiques.

162. Si la quantité considérée n’est pas susceptible d’être comptée en deux sens nettement différents, et si le signe Hest affecté au seul sens rationnel, une solution négative correspond à une impossibilité absolue.

Soit le problème suivant : Un chemin de fer prend a francs par tonne transportée et par kilomètre parcouru ; on paye en outre par wagon de p kilogrammes un droit fixe de a' francs : à quelle distance peut-on transporter c tonnes pour S. francs?

J’appelle x ia distance cherchée. On devra payer d’abord pour cette distance et pour les c tonnes transportées une somme acx. De plus, le quotient de c par p indiquera le nombre de wagons nécessaires au transport, (juotient qu’il faudra multiplier par le droit fixe a'. On aura donc l’équation

On en déduit

acx -I — . a — A .

Si A est inférieur k-.a', la valeur de x est négative et indique

une impossibilité absolue, c’est-à-dire une absurdité dans l’énoncé. En effet, il s’agit d’une distance parcourue commercialement, et le sens de cette distance ne peut rien changer aux conditions fixées; le chemin de fer perçoit les mêmes droits, qu’il s’agisse d’un convoi montant ou descendant.

Donner A c’est donner pour acquitter la somme due au chemin de fer moins qu’il ne faut pour acquitter seulement

3l8 Al.GÈBIlE ÉLÊMEM'AIRE.

le droit fixe qui correspond au nombre de wagons demandé :

l’absurdité est manifeste.

163. La convention' générale indiquée ( ICI ), convention qui résulte des faits, simplifie extrêmement la résolution des problèmes. C’est ce que nous allons développer sur un exemple. Cet exemple renferme en outre tous les cas que la discussion spéciale d’un problème peut présenter.

Deux courriers sont en marche sur une même route depuis un temps indéterminé. Ils se trouvent à un même instant, l’un en un point l'autre en un point B de cette route. On connatt la distance AB = d, on sait que le premier courrier parcourt e kilomètres par heure, que le second courrier en parcourt v' dans le même temps. On demande de déterminer l’instant et le lieu de la rencontre des deux courriers.

.le supposerai qu’on compte les distances en kilomètres à partir du point A, et les temps en heures à partir du moment où les deux courriers sont ensemble, l’un au point A, l’autre au point B. Admettons que les deux courriers marchent dans le

même sens, de A vers B et au delà de B, et que leur 'rencontre ait lieu en R, à droite du point A. Désignons AR par xet BR par r; désignons par / le temps pendant lequel ces parcours s’effectuent. Puisque le premier courrier fait v kilomètres par heure, il parcourra en / heures vt kilomètres. On aura donc

On trouvera de même «

X = vt.

Il est évident qu’on a d’ailleurs dans l’hypothèse admise :

Substituons les valeurs dex- et de j exprimées en fonction de / dans la troisième équation; elle deviendra

d’où

Par suite.

vt — v't = d.

ALCÈBHE ÉLÉMEM-AIllE. Sig

i“. Si l’on ces valeurs sont positives et satisfoift à

la fois aux équations et au problème. En effet, le premier courrier ntarchanl plus vile que le second et gagnant sur lui, pour chaiiue heure écoulée, kilomètres, finira nécessaire-

ment par l’atteindre en un point R situé à droite des deux points A et B où les deux courriers se trouvent simultanément à l’instant considéré. ^

2 ”. Si l’on a e<;e', les valeurs trouvées sont négatives : elles satisfont nécessairement aux équations; satisfont-elles au problème? Elles ne satisfont pas évidemment au problème tel qu’il est posé. Si eestc^ e', le premier courrier marche moins rapidement que le second, l’avance que le second a déjà sur lui s’accroît, pour chaque heure écoulée de e' — c kilomètres ; les deux courriers ne pourront donc jamais se rencontrer à droite du point V et à partir de l’instant considéré. Mais on remarque que la distance du point de rencontre R aux points A et B est susceptible d’étre comptée à droite ou à gauche de ces points, que l’instant de la rencontre peut de même être postérieur ou antérieur à l’instant considéré. Les valeurs négatives trouvées doivent donc indiquer une distance mesurée à gauche — du point A ou du point B,

— — un temps compté vers le

^ passé, (’.’esl ce que nous

allons véritier, en remettant le problème en équation dans cette nouvelle hypothèse. En conservant les mêmes notations, on aura dans ce cas

Si l’on compare ce système au précédent

on voit que les deux systèmes ne diffèrent que par le changement de signe des inconnues. En changeant a: en — ar, veu — r. < en — t, dans le premier système, on reproduit le second. Les valeurs négatives qui satisfont au premier système trouvé, satisferont donc au second système lorsqu’on les prendra positivement (158); c’est-à-dire qu’il y a bien eu une rencontre à gauche du point A cl avant l’instant considéré.

Il sera en général inutile de faire la rectification indiquée, dans les cas analogues à celui que nous venons ,de traiter. Il suffira de s’assurer que les (diauf'enxents de sens supposés ne

ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE.

3ao

fout varier, dans les équations obtenues, que les signes des ineonnues correspondantes, pour pouvoir interpréter immédiatement les solutions négatives.

3". Si l’on a v = v', les valeurs trouvées se présentent toutes les trois sous la forme — • Si l’on considère alors les conditions

du problème, on voit qu’il ne peut exister aucune réponse à la question. Car les deux courriers inarcliant aussi vite l’un que l’autre, seront toujours et ont toujours été séparés par la distance d. Leur rencontre n’a donc jamais eu lieu et ne sera

jamais possible. Le symbole est en général un signe d’impossibilité pour les équations et pour les problèmes qui leur ont donné naissance.

4". Si l’on a à la foise =v' et c? = o, les valeurs trouvées se présentent toutes les trois sous la forme Si l’on considère

alors les conditions du problème, on voit que la réponse à la (juestion est complètement arbitraire ou indéterminée. Car les deux courriers marchant aussi vite l’un que ''autre et se trouvant ensemble au point A, ont toujours été et seront toujours ensemble; de sorte que leur rencontre a lieu en un point quelconque et à un instant quelconque. En général, le symbole ^

est un signe d'indétermination pour les équations et pour les problèmes qui leur ont donné naissance.

16A. Si les cas particuliers qu’on veut examiner ne diffèrent tes uns des autres que par le changement de sens de certaines données, il suffit de trouver les formules qui résolvent un seul cas. En y changeant ensuite les signes des quantités qui changent de sens, on obtient les formules qui conviennent aux cas caractérisés par ces variations. Seulement , lorsque les valeurs des inconnues changent de signe, il faut les porter en sens contraire.

Reprenons le problème précédent, et admettons que les distances positives correspondent toujours à la droite des points A et B, et les temps positifs à l’avenir.

Si l’on suppose que les deux courriers marchent dans le

< même sens, en se diri-

: — géant de B vers A et au

H i ' A — J B (le A, au lieu de se

diriger de A vers B, on devra dans les premières formules

ALGEBRE ÉI.ÉMEKTAIRE.

changer o en — e, et v' en — v' , J conservera son signe. On obtiendra

— vd

Si v' esl> e, t sera positif, x et j auront des valeurs négatives: la rencontre aura lieu après l’instant considéré et à gauche du point A.

Si v' est^c, t sera négatif, x et j auront des valeurs positives: la rencontre aura lieu avant l’instant considéré et à droite du point A. •

C’est ce qu’on peut facilement vérifier en traitant directement la question.

Admettons en dernier lieu que les deux courriers marchent

^ j: y en sens contraires, le

— premier de A vers B, le

’<î second de B vers A. On

devra dans les formules initiales changer le signe de c'; et v conserveront les mêmes signes. 11 viendra

/ et X seront positifs, y sera négative. La rencontre aura toujours lieu après l’instant considéré, à droite du point A, à g-rt«cAc du *J)oint B.

Si les deux courriers marchent en sens contraires, mais en se tournant le dos à partir des points A et B, c’est-à-dire si le

* .y ». . premier courrier marche

dans le sens de B vers A

^ et le second dans le sens

de A vers B, c’est le signe de v qu’on devra changer. On obtiendra

— vd vd