THÉORIE OES INÉGALITÉS

Principes généraux relatifs aux inégalités.

168. On dit que la quantité A est plus grande que la quaiililé B, lorsque la différence de ces deux quantités est posilive. Dans le cas contraire, la quantité .V est plus petite que la quantité B.

Il résulte de cette définilion que tonte quantité positive est plus grande que zéro, que toute quantité négative est plus petite que zéro, et d’autant plus petite, qu’elle est plus grande en valeur absolue.

Ainsi, l’on aura 5 >o; — 3<[o; — — 7 ; parce que

Nous allons parcourir les principes généraux auxquels le calcul des inégalités se trouve soumis.

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ALCEBnE ÉLËMEKTAIRE.

169. I. On peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres d’une inéfralité, sans en changer le sens.

Si l’on a A > B, on aura A + m; car si la diCfé-

rence A — B est positive, il.en sera de inCune de la diflerence ( A 4- m) — (B -t- m).

II. On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par une quantité positive, sans en changer le sens.

Si l’on a A>B, on aura Am>B/«, ni étant une quantité positive. En effet, si l’on a A — B>o, on aura aussi (A — B) wi ou Am — Bm>o, puisqu’on ne change pas le signe d’une quantité en la multipliant par une quantité positive.

Le cas de la multiplication renferme celui de la division :

multiplier par ^ revient à diviser par p.

III. Sir on multiplie ou si l’on divise les deux membres d'une

inégalité par une quantité négative, il faut renverser le sens de l’inégalité. ^

Si l’on a A — B^ o et si m est une quantité négative on aura

parce que le produit (A — B)m aura un signe contraire à celui de A — B.

170. IV. On peut ajouter membre ü membre deux inégalités de même sens, on ne peut pas les retrancher.

Si l’on a > B et G > D, on en déduira

car on a

A — B>o et G — D]^o,

d’où

c’est-à-dire

Si l’on retranche membre à membre les deux inégalités proposées, pour savoir le sens de l’inégalité résultante, il faut opérer sur un exemple numérique. On ne sait pas d’avance dans quel rapport la différence A — G peut être avec la différence B — D.

V. On peut retrancher membre à membre deux inégalités de sens contraire, on ne peut^pas les ajouter.

Si l’on a A > B et G ■< D, je dis qu’on aura

En effet, puisqu’on aA — B>o et D — G>o, ona aussi (A-B)4 -(D-G)>o,

llCÈlilVE ÉLÉMENTilnÊ. 3î5

c’('St-h-dire

Si l’on ajoule membre à membre les deux inégalilés considérées, pour savoir le sens de l’inégalilé résultante, il faut opérer sur un exemple numérique ; car on ne sait pas d’avance si A -H C l’emportera sur B D ou si l’inverse aura lieu.

171. VI. On peut mtiltiplier membre à membre plusieurs inéjralités de même sens, pourvu quelles aient lieu entre quantités positives.

Si l’on a A > B, A' > B', A" > B*, on en déduira AA'A'>BB'B".

En effet, considérons d’abord les deux premières inégalités. Ün en tire A — B > o et A' — B' > o. Par suite, on a •

(A-^B)A'>o et (A' — B')B>o.

11 en résulte