AA'A">BB'B

On voit que la démonstration serait en défaut, si les quantités considérées n’étaient pas toutes positives.

Gomme rien n’empêche de supposer tous les premiers membres des inégalités données égaux entre eux, ainsi que leurs seconds membres, on voit qu’on peut élever à une même puissance les deux membres d’une inégalité lorsqu’ils sont p'ositifs . De A > B on déduira A" ^ B".

Réciproquement, de A" B" on pourra déduire A >■ B, en supposant A et B pris positivement.

On ne peut pas multiplier membre à membre deux inégalités de sens contraire. Si l’on A>B et C<D, on ne sait pas d’avance si AC sera supérieur ou inférieur à BD.

VII. ün peut diviser membre à membre deux inégalités de sens contraire, lorsqu’elles ont lieu entre quantités positives.

Si l’on a A> B et C<[D, on en déduit

A IV nr < ad BG AD>BG et

c’est-à-dire

326 ALGÈllRE ÉLÉME^TAIBE.

La démonstration serait en défaut si les quantités considérées n’étaient pas toutes positives.

On ne peut pas diviser membre à membre deux inégalités de même sens. Si l’on a A > B et C > I), on ne sait pas d’avance

si ^ 1 emportera ouTfion sur -

172. Comme application, proposonij-nous de démontrer que si les expressions y -pi sont rangées par ordre de

, grandeur croissante, l’expression tombe entre

, a ri" les expressions extrêmes ^ et p^‘

Je supposerai que les dénominateurs b, b', b", b"', sont tous positifs, condition qu’on peut toujours remplir, en changeant, s’il est nécessaire, les signes des deux termes de l’expression fractionnaire considérée.

Ceci admis, posons j = 9- O*!

11 en résulte

a = bq, ri;>b'q, a">b"q, ri":>b'"q,

puisqu’on peut multiplier par une même quantité positive les deux membres d’une inégaCité.

On peut ajouter membre à membre les trois inégalités qu’on vient d’écrire, puisqu’elles sont de même sens; on peut ajouter aussi une même quantité a= bq aux deux membres de l’inégalité résultante. On a donc le droit de poser

ri-+ ri -t- a" + ri">{b^b'-\-b"+ b'" ) q,

on prouverait de même qu’on a

a -h ri -j- ri' -h ri" ^ ,

b.+.b' + b''-hb’"^^

ou que

Digilized by (ioogle

ALGÈBRE ÉLÉMEnTAIRE.

Inégalités du premier degré à une ou deux inconnues.

173. Lorsqu’une cgalilé renferme une inconnue au premier ilegré, on peut déduire de ceUe inégalité une limite supérieure ou inférieure que l’inconnue considérée ne devra pas dépasser dans un sens ou dans l’autre.

11 est évident qu’on ne change pas les valeurs des inconnues qui satisfont à une inégalité donnée, en lui faisant subir les changements précédemment indiqués (169). Par conséquent, on pourra, pour ces inégalités comme pour les équatioAis, transposer des tçrmes d’un membre dans l’autre à la condition de changer leurs signes; on pourra aussi chasser les dénominateurs ou supprimer les facteurs communs de la même manière, en ayant soin de renverser le sens de l’inégalité si le dénominateur commun ou le facteur commun supprimé est négatif. Nous supposons que le dénominateur commun ou le facteur commun ne renferme pas les inconnues.

174. Quelle que soit l’inégalité proposée, on pourra toujours la ramener à la forme

On en déduira d’où

A JT -t- B )> A'x ■+■ B'.

Ax — A'x > B' — B, (A- A').r>B'-B,