hx= a — b — I
En élevant encore au carré, il vient
4{6 + a;) = {a— ft— i)S
d’où
Comme nous avons élevé au carré, la racine trouvée pourrait ne pas satisfaire à l’équalion proposée (112, 117). Vérifions cette racine. Si on la substitue à la place de x dans l’équation, on a • /
/ (fl — b — i)’— 4ù . /7 (a — b — i)’ — ib
Le premier radical revient à
v/iü
à y/lti
-, OU a
Si l'on considère (a — i)’ comme le carré du binôme
(a — b) — I, il viendra
, /4(a — ô)-tT(n — by — 7.{a — b]-hi , /(a — ô)’-|-2 (a — b) ■+■ i
La quantité placée sous le radical représente le carré de — — c’est-à-dire que ce radical équivaut à la fraction
fl — b -t- I
• Le second radical
n est
évidemment autre chose que la fraction - — - — Î-. On doit
donc avoir "
égalité évidente.
Si l’on fait dans la formule générale a =7 et b = 7,, la valeur particulière de ar est .
Substituée dans l’équation -
hi;r- r'K- uo'l iij
T \T~hX= l -h + X, J îwi -
elle donne l’identité
-,ér: •brvji'wîic
.'iniJÈ!;'
3". Résoudre l’équation
II suffit évidemment de poser successivement
x' + 2x — 35 = 0 et x' — X - — 6 = o.
La première équation donne
— i±Vi + 35 = — 1±6, d’où La seconde équation donne à son tour
x= - = J d ou
Les quatre racines cherchées sont 5, — 7, 3, — 2. 4”. Résoudre l'équation
^ x-\- 5 4- v/ax4-y=7.
En élevant une première fois au carré, on trouve
d’où
ar + 5 + 2x-+-8 + 2 y^(x 4- 5) (2 x+ b) =49»
2 v/(x 4-5) (aa: + 8) = 36 — 3x.
Si l’on élève une seconde fois au carré, il vient
Cette équation donne
x= i44 — v^i44’ — Il 36= i44^V'9^f>0'
Par suite
Nous devons vérifier ces racines. La première conduit à
résultat inadmissible : elle ne vérifie pas l’équation donnée. La seconde racine conduit à
c’est-à-dire à une identité : elle seule vérifie donc l’équation proposée.
Si l’on prenait le premier radical avec le signe — , la première racine conviendrait au contraire, et la seconde racine ne satisferait plus. 11 faut remarquer à ce sujet que les signes particuliers des radicaux disparaissant dans l’élévation au carré.
ALGÈBRE ÉLÉUENTAIRE. 343
l’équation finale répond à toutes les combinaisons de signes de ces radicaux : une racine qui ne satisfait point au premier abord peut donc convenir si l’on fait sur les signes des radicaux l’hypothèse convenable,
5“. Résoudre l’équation
J’élève les deux membres au carré, j’obtiens
28 + 2 a: = 21 -I- X+ 2 \j 2 l -hx -I- I ,
d’où
J’élève une seconde fois au carré, et je trouve 36+ i 2 a? + a;’ = 84 + 4-r,
d’où
On en déduit On a donc
a::' = 4 et x' = — 12 .
La première valeur substituée dans l’équation donne V^36 z= v^ + i.
La seconde conduit à
La première vérifie l’équation telle qu’elle est posée; la seconde ne la vérifie que si l’on prend les deux radicaux avec le signe — .
6“. Résoudre l’équation '
En élevant au carré, on a
En élevant une seconde fois au carré, il vient 4(i4 + a:) (5 + 2 a:) = (i8 + 3a:)S
a:= 12 ±v'i44 — 44 = «2±*io.
c’est-à-dire On en déduit On a donc
X' = 22 et X" = 2.
344 ALGÈBRE élémentaire.
La vérificalion donne
V^i6 + \Zg = I ;
c’esl-à-dire qu’aucune des racines trouvées ne satisfait. Pour qu’il y ait vérification, il faut prendre d’abord le premier radical avec le signe — et le second avec le signe + ; puis fairç l’inverse.
