r’ + ioa? + 4=o

La somme des racines sera

leur produit sera

190. Ce qui précède permet de résoudre immédiatement cette question : Trouver deux nombres dont la somme et le produit sont donnés. Ces deux nombres sont nécessairement • les racines d’une équation du second degré, dont le premier terme a pour coefficient l’unité, dont le second terme a pour coefficient la somme donnée prise en signe contraire, et dont • le terme indépendant est le produit donné.

Si la somme donnée est S et le produit donné P, les deux nombres cherchés seront les racines de l’équation

x’ — Sx 4 - P = o,

puisqu’on a, en désignant ces racines par x' et x", x'-f-x"=S, x'x"=P.

On peut facilement vérifier ce théorème usuel. Si l’on appelle x l’un des deux nombres demandés, l’autre sera S — x, et l’on devra avoir

d’où

Sx — x’ = P ou x’ — Sx-(-P = o.

346 ALGÈBHE ÉLÉMENTAIRE.

X représenlanl l’un quelconque des deux nombres, les racines de cette équation sont les deux nombres cherchés.

Trouver deux nombres dont la somme soit iSetle produit 56. On aura

d’où

c’est-à-dire

191 . Il est facile, d’après ce qui précède, d’indiquer la nature des racines d’une équation du second degré sans la résoudre. Prenons l’équation sous la formé ax^-^bx-^c = o ; on peut toujours supposer a positif. Nous distinguerons trois cas.

I”.. Si c est positif, le terme — ^ac, placé sous le radical dans la formule générale x = — ®sl négatif. On ne

peut donc savoir d’avance la nature des racines qu’en formant la quantité b' — ^ac.

Si l’on a b' — ^ac<C.o, les racines sont imaginaires; aucune recherche ultérieure n’est nécessaire.

Si l’on a — ^ac = 0, les racines sont réelles et égales. On

a immédiatement x — puisque le radical s’annule.

D’ailleurs, les deux racines étant égales, chacune d’elles est la

moitié de leur somme

Si l’on a 6’ — ^ac > o, les deux racines sont réelles et inégales. Elles sont de même signe, puisque leur produit - est

positif. Leur somme étant — -1 elles sont positives si b est

négatif, négatives si b est positif, c’est-à-dire qu’elles sont de signe contraire à b.

2°. Si c est négatif, le terme — ^ac, placé sous le radical

^ ^ ^2 ■ X etc

de la formule générale x = ’ est positif; la

quantité placée sous le radical est alors toujours positive, c’est-à-dire que les racines sont toujours réelles. Leur produit ^ éunt négatif, elles ont des signes contraires : l’une est positive, l’autre est négative ; la plus grande des deiix donne

ALGÈBHE ÉLÉMENTAIRE. 347

son signe à la somme des racines, c’esl-à-dire qu’elle est de signe contraire à b, puisque cette somme est —

3®. Si c est nul, le terme — ^ac s’évanouit, et l’on a — b±\fb' — b±b

aa ia

L’une des -racines est nulle, l’autre est - — • En effet, le pro-

duit des racines étant nul, sans que leur somme le soit, l’une d’elles est nulle, et l’autre est égale à leur somme. C’est encore ce qu’indique immédiatement l’équation

ax'-\-bx = b,

d’où l’on déduit

X [ax ù) = O.

En résumé, si c est positif, et qu’on ait 6’ — ^ac'^o, les racines seront toutes deux réelles et de signe contraire à b. Si c est négatif, les racines seront toujours réelles; elles seront affectées de signes contraires, et la plus grande sera de signe contraire à b.

Soit l’équation

On a ici .

. 6’ — ^ac = ^ — 4'3-7;

les racines sont imaginaires.

Soit l’équation

ün a

6® — 4<tc = 64 — 4-4'4 = ®'

Les racines sont toutes deux égales à ou à i.

Soit l’équation

On a

6 ’ — 4 ac = i6g — 4-5. 8 = 9 .

Les racines sont réelles et inégales. Elles sont toutes deux positives.

Soit l’équation

c est négatif; les racines sont nécessairement réelles. Elles sont de signes contraires : la plus grande est positive, parce que ù est négatif.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

Décomposition d’un trinôme du second degré en factenrs du premier degré.

192. Soit un trinôme du second degré x^-\-px-\-q, x recevoir dans ce trinôme toutes les valeurs possibles. Égalonsle à zéro : il en résultera pour x deux valeurs spéciales, x' et x", qui seront les racines de l’équation obtenue x*-hpx-^-q = o. On aura* (189)

p = — (ar'-t-a;") et q=x'x".

Si l’on substitue à la place de p ei deq ces valeurs, le trinôme . deviendra

x ^ — [x' + x'')x-hx' x".

Ce ne sera là qu’une forme identique à la forme x' + px-\-q ;

■ on pourra de nouveau attribuer à x dans ce trinôme toutes les valeurs possibles. Mais on a évidemment

Le second membre de cette égalité revient à

c’est-à-dire à

On a donc finalement

x^-i-px + q = {x — x') (x — x"),

et, dans les deux membres de cette égalité; on peut donner à X toutes les valeurs possibles, de sorte que cette égalité est une véritable identité.

On arrive donc à ce théorème, dont on fait un usage continuel : Toul trinôme du second degré de la forme x‘‘ px q est égal au produit de deux facteurs du premier degré, formés en retranchant successivement du symbole x chacune des racines x', x", obtenues en égalant le trinôme à zéro.

Si le trinôme se présente sous la forme plus générale

ax^ -ybx + c,

on peut écrire

or’ -y bx c = d -y^x a(x^-y px -H ç)*

En remplaçant x'-+-px-i-q par [x — x') [x — x"), il vient

£LC’ -i- bx -h C =: a {x — x') [x — x"].

Le théorème est donc le même, sauf la multiplication par le coefficient a du premier terme du trinôme.

ÀLCÈBItE ÉLÉMEKTAinE. 349

Si l’on demande de transformer le trinôme ar*— 5ar + 6,

on posera d’où

5 db v^ 2 Ô — 24 5 dt I

et

Par suite, x^ — Sx -i-6 = [x— 3) {x — 2 ), quel que soit x.

Si Ton demande de transformer le trinôme 2 x* + 5x — 63, on posera

d’où

Par suite,

— 5 ± VaS -t- 5o4 — 5 ±23 ia;'=4,5,

4 4 lx"=:—’j.

2x' + Sx — 63 = 2 ( 2 ; — 4,5) (ar 4- 7 ), quel que soit x.

^3. Le théorème précédent est si important, que nous en donnerons une seconde démonstration directe.

Soit le trinôme ax^ 4 - ôa? 4 - c. On a identiquement

ax' bx + c — aix^-\-- X +

On ne changera rien à la quantité renfermée entre parenthèses,

en l’augmentant et en la diminuant à la fois du terme r On

aura alors

ax'+ bx c = a Ix' + - X -i h 7 — — -j— ]

ou

ax^ + bx (f — a\x^+- X

mais x’ 4- - X 4 - représente le carré du binôme x -f- — , a 4a 2 a

et la différence t— est le carré de

donc écrire

On peut

ax’ 4 - ôx -1- c = fl

La différence des deux carrés renfermés entre parenthèses peut être remplacée par le produit de la somme de leurs

35b ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE,

racines par la différence de ces mêmes racines; d’où

cuc^+bx + c=z a + — î)

Mais si l^on se souvient que l'équation

ax' + bx + c = o ou x’-i — x -i — =o

à précisément pour racines

et a/'=-

on aura en réalité *

ax^ + bx + c=a[x — [x — x").

194. Appliquons directement au trinôme ax’-i-bx 4 - c les considérations déjà développées {184, 18S, 186), et considérons l’expression *•

ax^

Si l’on a i’ — 4ac>o, c’est-à-dire si les racines x' et x" sont réelles et inégales, on aura aussi, en divisant par 4 a%

On peut alors poser — - = K’ et regarder la parenthèse

comme la différence de deux carrés. Donc, lorsque le trinôme ax' -h ôa: -h c, égalé à zéro, conduit à des racines réelles et inégales, on peut le regarder comme le produit de la différence de deux carrés par le coefficient a.

Si l’on a b' — ^ac = o, c’est-à-dire si les racines x' et x"

se confondent, on a aussi 7—7 = 0 , et il reste

ax‘‘ -h bx + c = a

Le trinôme ax'‘ + bx+c, égalé à zéro, conduisant à des racines réelles et égales, on peut le regarder comme le produit d’un carré par le coefficient a.

Enfin, si l’on a ô’ — ^ac<fo, c’esl-à-dire si les racinesar'

et x" sont imaginaires, on a aussi 7 ^ — - o. On peut alors

poser — K’ ei regarder la parenthèse

[('^+s)+(îV-ï)]

comme la somme de deux carrés. Par suite, le trinôme CLx' + bx-\- c, égalé à zéro, conduisant à des racines imaginaires, on peut le regarder comme le produit de la somme de deux carrés par le coefficient a.

Dans les deux derniers cas, la parenthèse aÿimt, quel que soit X, une valeur positive, c’est le coefficient a qui donne son signe aux valeurs du trinôme.

En résumé, suivant qu’on a 6* — ^ac'^o, b'—^ac^o, b* — ^ac<C.o, on peut écrire :

èx 4- c = a ax’4- bx -h c = a ax'-h bx -hc=za

Inégalités du second degré.

195. La forme la plus générale d’une inégalité du second degré est celle-ci :

ax' bx + c"^ O ou ax^ + bx -h c <C.o.

On peut toujours supposer a positif. Si ce coefficient était négatif, on multiplierait par — i les deux membres de l’inégalité et on en renverserait le sens (169, III).

Si les racines de l’équation ax' -\- bx-hc = o, obtenue en égalant le premier membre de l’inégalité à zéro, sont imaginaires ou bien si elles sont réelles et égales, les valeurs du trinôme seront toujours de même signe que a (194), par conséquent toujours positives. On satisfera nécessairement à la relation

ax'-hbx-i- c>o,

en donnant à x une valeur féclle quelconque; mais on ne pourra jamais satisfaire à la relation

ax’ 4- 6x -1- c O O.

Si les racines de l’équation ax’ 4 - ôx -f- c- = o sont réelles et inégales, on pourra mettre le trinôme ax' + bx-hc sous la forme rt(x — x')(x — x"), x' et x" étant les racines obtenues.

35a ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Pour qu’on ail a(a: — x')(x — a:")>o, a étant toujours supposé positif, il faudra que le produit des deux facteurs x-*-x' et X — x" soit positif, c’est-à-dire il faudra que ces deux facteurs soient de même signe ; tous deux positifs ou tous deux négatifs. On devra donc avoir x~^x' , x'^x", ou bien ar<a?', x<C,x". On pourra donc donner à x toutes les valeurs réelles plus grandes ou plus petites que les deux racines, mais on ne pourra lui en donner aucune comprise entre les deux racines.

Si l’on veut au contraire satisfaire à l’inégalité v

or* -4- 6a: 4- c <; O ou a[x — x') [x — a:")<^o, a étant toujours positif, les deux facteurs x — x' et x — x" devront être de signes contraires, pour que le premier membre de l’inégalité soit négatif. En désignant para:' la plus grande racine, on devra donc avoir xC^x' en même temps que x'^x" , c’est-à-dire que x n’admettra que les valeurs réelles comprises entre les deux racines.

En résumé et a étant supposé positif, on peut toujours satisfaire à l’inégalité aa:’ -+- 6x -+- c> o : en donnant à x

une valeur réelle quelconque, lorsque les racines de l’équation Æt’ -4- 6a: -f- c = o sont réelles et égales ou imaginaires ; 2 ® en donnant à x une valeur réelle quelconque, pourvu quelle ne soit pas comprise entre les deux racines, dans le cas où ces dernières sont réelles et inégales.

On ne peut satisfaire à l’inégalité ax^ + bx -i- c <^o que dans le cas où les racines de l’équation oa:’ -f- 6ar-(- c = o sont réelles et inégales, et alors il faut que la valeur réelle donnée à x soit comprise entre ces deux racines.

Si a était négatif, il suffirait d’appliquer ce qu’on vient de dire pour l’inégalité «a:’-|-6a:-Hc<[o à l’inégalité oa:’4-6a:-t-c>o, et réciproquement.

En d’autres termes, lorsque les racines de l’équation obtenue en égalant le premier membre de l’inégalité à zéro sont réelles et égales ou imaginaires, les valeurs du trinôme ont toujours le signe de a.

Lorsque les racines sont réelles et inégales, les valeurs du trinôme ont le signe de a, lorsque x n’est pas compris entre les racines; ces valeurs sont de signes contraires à a, lorsque x est compris entre les racines.

Soit l’inégalité

Les racines de l’équation

étant imaginaires, cette inégalité sera satisfaite pour toutes les valeurs réelles de x.

ALGÈBRE ÉLÉMERTAIRE. 353

Soit l’inégalité

Les racines de l’équation

étant 4 et — I , cette inégalité ne sera satisfaite que pour les valeurs de x comprises entre 4 et — i.

Soit l’inégalité

Les racines de l’équation

étant 6 et I, cette inégalité ne sera satisfaite que pour les valeurs de X comprises entre 6 et i .

Soit l’inégalité

3x^ — iox-|-3]>o.

Les racines de l’équation • '

3 x' — ioa;-f-3 = o

eunt 3 et 2 on pourra donner à x une valeur réelle quelconque, pourvu qu’elle ne tombe pas entre 3 et

Problèmes du second degré.

196 . I. Trouver sur la droite qui passe par deux points donnés A et B, un point dont la'distance au point A soit moyenne proportionnelle (voir la Géométrie) entre la longueur AB et la distance du point cherché au point B.

Pour mettre le problème en équation, je suis obligé d’assigner une position quelconque au point cherché. Je supposerai

O d’abord ce point, qup

y- — je désignerai par C,

* entre les points A et

B. J’appelle^ la longueur AC, et a la longueur AB. J’aurai, d’après l’énoncé du problème,

x‘‘z=a[a — ar).

De cette équation, je tire

x'-yax — = O ,

d’où

. . • • 5rt'

La quantité sous le radical revient à— 7-1

et l’on peut extraire a3

354 ALCF-BRE ÉLÉMF.NTAinE.

la racine carrée de ^ : on aura donc

c’est-à-dire

Le sigde + du radical correspond à une racine positive, plus petite que a, de sorte qu’entre A et B il y a bien un point C répondant à la question.

Le signe — du radical correspond à une racine négative. Cette racine négative indique un point C', placé à gauche du point A, puisque le point C est à droite du même point, et répondant aussi à la question ; car l’énoncé permet évidemment de compter l’inconnue x, à partir du point A, à droite ou à gauche de ce point, et l’Algèbre par l’opposition de signe indique l’opposition de sens (161): c’est ce que nous allons vérifier.

En désignant AC' par ar*et AB par a, on devra avoir . ,

Si l’on compare cette équation à l’équation précédente ar’ = «(a — x),

on voit que ces deux équations ne diffèrent que par le changement de a: en — x\ donc les racipes de la seconde équation seront celles de la première, changées de signes (1S8), c’est-àdire

. La racine positive de celte équation correspond au point C', et la racine négative au point C déjà obtenu. Les deux équations posées se vérifient mutuellement, et la première suffit pour trouver les deux solutions du problème.

Si l’on suppose enfin le point cherché placé en C" à xlroite „ du point A, mais au delà du

~ - point B, l’inconnue x sera la

* distance AC", et l’on aura pour

équation du problème

x ’ — ax -4- a’ = O.

En formant la quantité ^ — q, ôn voit immédiatement que les

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 355

racines de celte équation sont imaginaires : ce qui indique’' l’absurdité de l’hypothèse. Et, en effet, AO" étant à la fois supérieure à AB et à BC", il est impossible que AC" soit une moyenne proporiioflnelle entre les deux distances énoncées,

197. II. Etant donnés le volume et la hauteur d’un tronc de pyramide à bases carrées et parallèles, et le côté d’une de ces bases, trouver le côté de l’autre base.

Désignons par V et II le volume et la hauteur donnés, par a

IV c' le côté connu de la grande base, par x le

K' /’ / \ coté clierchc de la petite base. La géométrie

/ / ' ® \ \ donne immédiatement

V = :r'4- aar).

On en déduit

x^-\-ax + a' jj- = o.

Celte équation donne

L’une des racines est négative, elle ne peut convenir au point de vue géométrique, et nous devons la rejeter. D’ailleurs, pour que les racines soient réelles, il faut qu’on ait

Ce n’est pas tout : il faut que la première racine soit positive, sans quoi le problème n’admettrait aucune solution. On devra donc avoir

a /TV Jâ' ^

-;+VTr-T>°-

Celle inégalité revient, en faisant passer—^ dans le second membre et en élevant ensuite les deux membres au carré, à 3V 3fl= - a'

Tr-T>4’

d’où

-g->a’ et V>^-

Celte condition, qui renferme la précédente, suffit donc pour

356 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

assurer la possibilité du problème. El, en effet, elle exprime que le terme indépendant de l’équation considérée est négatif : dans ce cas, les racines sont toujours réelles. Nous aurions pu poser immédiatement cette condition dff possibilité du problème.

On peut facilement interpréter le résultat

trmi VP

présente le volume d’une pyramide ayant même base ABCD et même hauteur que le tronc proposé : or il est évident que le volume de ce tronc doit être plus grand que le volume de cette pyramide qui est l’une des trois qui le composent. Si l’on avait

on trouverait

et le tronc se confondrait avec la pyramide.

Si l’Algèbre nous a donné une racine négative que nous avons dû rejeter, c’est qu’un problème d’Algèbre pure, admettant indifféremment la solution positive ou négative, conduit à une équation identique à celle qu’on vient de traiter. Ainsi on peut demander, étant donnés les nombres V, H et a, de trouver un nombre x qui satisfasse à la condition

(a’ -4- a:’ + ax).

La valeur négative fournie par cette équation est la plus grande des deux racines; le terme x’ restera toujours positif et compensera l’accroissement du terme ax devenu négatif, de sorte que la condition imposée sera aussi bien vérifiée par la racine négative que par la racine positive.

198. III. Calculer la profondeur d’un puits, connaissant le nombre T de secondes qui s'est écoulé entre l’instant oit l'on a laissé tomber une pierre dans ce puits, et celui où le bruit qu’elle a fait en touchant le fond est revenu frapper l’oreille : on néglige la résistance de l’air.

Nous représenterons par x la profondeur du puits.

Le temps T se décompose en deux 'périodes : le temps/ mis par la pierre pour parcourir en descendant l’espace x-, le temps t' mis par le son pour parcourir le même espace en remontant.

La chute d’un corps dans le vide a lieu d’un mouvement uniformément varié dont l’accélération est représentée par La Mécanique donne donc

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

d’où

La vitesse du son dans l’air est constante et égale à 333 mètres par seconde. Si nous la représentons par v, on aura donc aussi

’x—vl',

d’où •*

Il viendra'par conséquent

d’où

En élevant les deux membres au carré, on trouvera

On obtient donc l’équation du second degré /T i\

— — 2 f-- )ar -hl’ = 0 .

Les racines de cette équation sont réelles, car on a

(Wi).

Elles sont donc toutes deux positives, puisque leur produit est

égal à T’ c’ et, leur somme, à 2 ^ ^ 4- . v’.Une seule cependant

peut convenir : le puits n’a pas deux profondeurs différentes. . En appliquant la formule générale ( 182), on a

La première racine surpasse évidemment Y’ c’est-à-dire cï:

c’est donc cette racine qu’il faut rejeter, car en vertu de la relation X — vt', t' étant plus petit que T, on a aussi x vT. Nous conserverons donc seulement la seconde solution.

ALGÉBT\E ÉLÉMENTAinE.

Remarquons que nous avons été obligé d’élever au carré l’équation

Nous avons ainsi introduit une solution étrangère (112), celle qui correspond à l’équation

La singularité de deux racines positives dont une seule répond à la question, se trouve ainsi expliquée de la même manière que précédemment.

199. IV. Deux foyers lumineux d'intensité différente se trouvent en S. et en'B \ trouver sur la droite qui joint ces foyers, un point également éclairé par chacun d’eux.

Nous représenterons par d la distance AB. Désignons par a el b les intensités des deux lumières, c’est-à-dire les quantités de lumière qu’elles envoient au point situé, par rapport à chacune d’elles, à l’unité de distance. La physique nous apprend que la quantité de lumière émise par un foyer relativement à un point donné, varie en raison inverse du carré de la distance de ce point au foyer. • -

Ceci posé, admettons que le point cherché soit en C, entre A el B. Un point situé à l’unité de distance de A recevrait une quantité de lumière a; s’il était à 2 ", il recevrait une quantité

de lumière à S”, une quantité de lumière enfin, à

X mètres, en appelant x la distance AC, la quantité de lumièrereçue par le point C sera De même, la distance BC étant.

égale à <f — x, le point G recevra du foyer B une quantité de

lumière —r — — • L’équation du problème sera donc (d — x)'

{d-xY ^ ■

Le plus simple est de déduire immédiatement de cette relafion

c’cst-à-dire

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

\Jn

Supposons a'^b.

La première racine

yjaàz \[b \fa

indique l’existence d’un point G répondant à la question et compris entre A et B. En effet, a étant ^ que b, l’expression

■■ - ^ tombe entre i et-- x' est donc plus petite que d et

\!a + \fb 2

plus grande que - ; le point G est plus éloigné de A que de B.

La seconde racine

\Ja

indique l’existence d’un point G', toujours placé à droite du point A, mais au delà du point B, et répondant aussi à la ques-

tion. En effet, l’expression -= ^ est positive et plus

grande que i, de sorte que x!' surpasse d.

Si l’on avait au contraire aC'b.x' tomberait entre o et - rf?

parce que l’expression — ::r

\fâ

^ tomberait entre o et ce

\Ja-\->/b 2

qui indiquerait l’existence d’un point G répondant à la question et compris entre A et B, mais plus rapproché du point A que du point B.

La seconde racine x” serait alors négative, ce qui indique-

rait l’existence d’un point G" répondant à la question, mais placé à gauche du point A.

Les points G' et G" peuvent répondre à la question, parce que l’intensité plus grande de l’une ou de l’autre lumière se trouve compensée par l’accroissement égal à i/ de sa distance au point considéré.

Si l’on a a = b, la première racine x' devient égale à le point C se trouve à égale distance des deux foyers. La seconde

A.LGEBRE ÉLÉME»TiinE.

racine x" se présente sous la forme effet inad-

missible; puisque l’intensité des deux lumières est la même, aucun point C' ou C", situé à droite ou à gauche des points A et B, ne peut recevoir des foyers placés en ces points la même quantité de lumière.

Enfin, si l’on 3 en même temps a = 6 et rf= o, on trouve x' = 0 et x" = ce qui correspond bien à l’indétermination complète et évidente du problème.

200 . Reprenons le cas où, dans le problème précédent, on . a a = 6. L’équation du problème

peut se mettre sous la forme •c a[d — xy = bx‘,

c’est-à-dire

(6 — a)x' -h 2 odx — ad}— O.

On en déduit

— addz\/a}d^ -had^{b — a)

Si l’on suppose alors a = b dans cette formule, il vient

d’où

— ad±ad

, O „ — 2ad

X z=- et X =r

Si l’on remonte alors à l’équation

( 6 — a ) a:’ -+- 2 adx — ad} = o,

on voit que l’hypothèse è = a la réduit à

. 2adx — ad'=o,

d'où l’on lire

On retrouve ainsi la racine a:' = -obtenue précédemment ( 199 ).

Comme l’équation considérée s’abaisse réellement au premier degré, la formule générale de résolution des équations du second degré pourrait être en défaut; mais nous allons montrer que, même dans ce cas particulier, elle conserve

ALGÈBHE ÉLÉME^TA^lE. 36l

louie son cxaclilude. La racine .r", qui se présente sous la forme oo , correspond à l’abaissement du degré de l’équation.

La racine x' = - est égale à et l’indétermination qu’elle ac- 0 2

cuse n’est qu’apparente. En effet, reprenons la valeur — 4- s/a^d' ■+■ ad'‘ [b — fl)

Multiplions les deux termes de la fraction du second membre par — ad — \/a^d’ -had'{b — a). Il viendra évidemment

— ady — \\/a^d^ ad^h — «)]*

c’est-à-dire

(b — a) [ — ad — ^ a'd‘ ad' {b — a)] — ad'[b — a)

(b — fl)[ — ad — \ja'd'-\- ad* [b — a)]

Supprimons le facteur commun 6 — a, qui s’annule pour 6 = a, et nous aurons

— ad*

— ad — slà'd'-\-ad'{b — a)

Si l’on fait maintenant 6 = a, il vient

— ad' — ad' d

— ad — ad — y. ad 2