CHAPITRE III
ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR DONT LA RÉSOLUTION SE RAMÈNE AU SECOND DEGRÉ.
Équations trinômes.
201. On peut ramener au second degré la résolution de toute équation trinôme de la forme
ax"” -t- bx'* 4- c = O.
On voit que les exposants de l’inconnue dans les termes qui la renferment, sont doubles l’un de l’autre. On peut alors poser X” =x, et l’on en déduit x'" de sorte qu’on transforme l’équation proposée en équation du second degré
ay' -4- ôy 4- c = O.
36a ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE.
Celle équation du second degré donne
— bziz \! b' — /\ac
Mais la relation x'" = j revient à æ: = "l/y- Par conséquent
^ Y 2rt
En laissant de côté l’examen de toutes les valeurs qui .correspondent à cette formule, c’est-à-dire en lui conservant un caractère arithmétique, proposons-nous de 1 appliquer à l’exemple suivant : *
Sx’ — ']x’ — 264 = O.
On posera = d’où x’z=f, et l’équation deviendra
Sy' — '}y — 264 = 0 .
On en déduit
c’est-à-dire
= 8 et ^" = — 6,6;
Par conséquent, puisque x’ =y, on aura
X — \Jy
ou
a: = v ^8 = 2 et x= v^ — 6 , 6 = - 1,876
à moins de 0,001 par excès.
Équations bi-carrées.
202 .' Quand on Vim = z, i’équation trinôme prend le nom d’équation bi-carrée et devient
ax‘ -+■ bx' 4 - c = O.
Posons x^=y, on aura
Par suite, il faudra comme précédemment résoudre 1 équation
On en déduira
ay + by ■+• c = O.
— 6 ± Vô’ — 4 (JC
ALgLbRE ÉLÉMEKTAinE.
Mais on a x’’ = y, d’où x=-±.\Jy cl par conséquciu
xz=±\,!
y 2rt
Kn assemblant les signes de toutes les manières possibles, on trouve pour x quatre valeurs, deux à deux égales et de signes contraires. Ces valeurs sont
' ~ b — sjh^ — ^ac
On voit qu’on a x' = — x" et ar" = — x'’’ : on pouvait prévoir ce résultat. Cette propriété n’appartient pas seulement à l’équation bi-carrée, elle appartient à toute équation qui ne renferme que des puissances paires de l’inconnue. Dans ce cas, en effet, si la racine x=-t-a convient, la racine xz= — a convien!V>iissi ; car {-|-a)v = (— a)v, p étant un entier quelconque.
203. Cherchons à reconnaître la nature des racines de l’équation bi-carrée sans la résoudre. Désignons par y' et j" les racines de l’équation ar’-t- 67 * -f- c = o; les racines de l’équation ax' -ybx'-+-c = o seront
x = ±<ijy', x = ±\ly".
I”. Les quatre racines de l’équation bi-carrée seront réelles si l’on a et^">’ 0 , c’est-à-dire si les racines de l’équa-
tion 6 ^-)- c= o sont positives. Il faut pour cela qu’on ait 6 ’ — 4ac>o, c>o et i»<; o (191, i“), en supposant a positif, ce qui est toujours permis.
2 °. L’équation bi-carrée admet deux racines réelles et deux racines imaginaires, lorsqu’on a, par exemple, et
^"< 0 . Pour cela, il faut que les racines de l’équation ay' by -y c ^ O soient réelles et de signes contraires: la seule condition nécessaire est alors c<(o (191, 2 ").
3". Les quatre racines de l’équation bi-carrée seront imaginaires si l’on a o et o. .Les racines de l’équation aj’ by-y c = O doivent alors être toutes les deux négatives;. ce qui entraîne les conditions 6 ’— 4 ac>o, c>o et 6 >o (191, i«).
4". Si l’on a i’ — 4nc = o, il vient Les racines de
l’équation bi-carrée, égales deux à deux, sont réelles si l’on
364 ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIRE.
a > O OU b<C.o, imaginaires si l'on a <C o ou 6> o. Dans
ce cas, Æ7 = ±y^— — (191, >")•
5”. Si l’on a fr» — 4«c < o, les racines y' el y" sont imaginaires, ei il en est de même des racines de l’équation bi-carrce (î;o/r208).
204. Le premier membre de l’équation ay^-yby-yc = o peut SC mettre sous la forme a[y — y ) (j-- (192). Mais on a d’une manière générale x^=y, en même temps que x'^ —y ci x"”‘ —y" . Par suite on peut poser
+ c ou ax' + bx^+ c = a[x' — x'^){x^ — x"^).
On a évidemment
x‘ —x'^ = (x — x')(x-yx') et x^'—x^’={x — x"){x-hx”].
On peut remplacer d’ailleurs la racine x' par la racine x" prise en signe contraire, c’^st-à-dire par — a;"; de même, a:" est égale à — a?”. On a alors
x^—x'’={x—x'){x — x") et x^ — x”' = {x — x'")^ — X''’},
ax'-y bx^-y c— a{x—x'){x — x^){x — x”){x—x").
Et l’on voit bien sous cette forme, pourquoi l’équation bicarrée admet quatre racines et pourquoi elle ne peut en admettre davantage-
