X -hy =a
La.première équation donne
et la seconde devient d’où
c’est-à-dire
et
X? -H- [a — x)’ = b’, x*-|-a’ — 3a*ar-f-3 ax^ — x' = b‘, 3a x’ — 3a’ X + a’ — b’ — o
3rt’± t/qrt' — 12 a (a’ — b’] 3 a’db ^i 2 ab’ — 3a*
On en déduit
• 3cézç.^\'iab ’ — 3 a*
La symétrie des équations explique la coïncidence des valeurs de X et de J. Pour que les valeurs des inconnues soient réelles, il faut qu’on ait i 2 afc’> 3a* ou 4 b’~^a’.
6 °, Soit à résoudre le système
Si l’on chasse les dénominateurs, la seconde équation devient x’ -l-y^ = bxy,
La première équation donne
En substituant cette valeur dans l’équation précédente, on trouve *
x’-y{a — xY = bx[a — x).
d’où
et
(2 -H ù) x’ — a[o. + b]x-‘ra’=:o
3^2 Ai-r.iBRn lu.i-MENT.ur.E.
En faisant sortir ilu radical et en simplifiant sons ce radical, on obtient
fl ( 9. + /> ) ± fl ‘ — 4
On peut alors diviser haut et bas par 2 -f- en remarquant que pour diviser le radical par 2 6 il faut diviser sous le radical
par (2-1-6)’, et que 6’ — 4 revient à (6-1-2) (6 — 2) ; si l’on met
en outre -en facteur commun, on arrive à la formule
On aura, par suile,
La condition de réalité des racines sera 6)>2, en valeur absolue.
211 . Considérons maintenant le système général formé de deux équations complètes du second degré à deux inconnues; ce système sera de la' forme •
a x'' b xf-i- c -h d X -i- ey-{-f = 0, fl'a?’ -f- b'xy-X c'y^ - 1 - d'x -l- e'y -i~f = o.
Je multiplierai les deux membres de la première équation par c', les deux membres de la seconde par c; les deux termes en y’ auront le même coefficient cc'. Si l’on retranche alors membre à membre les deux équations obtenues, les termes en y’ disparaîtront, de sorte que l’équation résultante pourra être représentée par
Ax’ -I- B xy -1- P X -f E l' -i- F = o.
On en déduira facilement
Ax’-t-Dx-t-F
Celte valeur de substituée dans l’une des équations données, conduira généralement à une équation complète du quatrième degré de la’forme
M x‘ -h Nx’ -H Px’ -1- Qx -f- B = O ;
car le terme ax’, par exemple, devra être multiplié par le dénominateur de la valeur de/’, c’est-à-dire par (Bx-|-E)’ : ce qui conduira à des termes en- x‘, en x^ et en x’.
Si, par suite des données particulières, on a N = o et Q =0, l’équation deviendra bi-carrée, et nous pourrons la résoudre.
ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE. 3^3
Elle s’abaissera au second degré, si l’on a M = o et N=o. Si l’on a M = O et R = o ou bien Q = o el U = o, on pourra diviser les deux membres de l’équation par x ou par x^, ce qui indiquera une ou deux racines nullcs; et les autres racines seront données par une équation du second degré.
On peut, dans la pratique, simplifier la résolution du systènje à l’aide de certains artifices de calcul : nous en indiquerons (|uelques-uns.
1°. Soit à résoudre le système
x' — xy=b\
Je multiplie les deux membres de la seconde équation par 2, j’obtiens
2 xy =26’.
En ajoutant et en rcirancbanl successivement membre à membre cette équation et la première du système, on trouve
x' -h y^ -+- 2 xy a’ -I- 2 X’ -i- y' — 2 xy — à‘ — 2 è’ ;
c’est-à-dire
[x y- yY = a’ -y 2. b’ ,
(x — yY=a^ — 2 b\
On en déduit
• X — y = ziz^a‘ — 2 i*.
Il en résulte immédiatement
j = ± - (v^a'-t-2A’ip — 2 A’).
On doit prendre dans ces formules les signes supérieurs ensemble et les signes inférieurs ensemble ; on aura *
X = üz- {\jà‘ -H 2 A= y/a’ — 2 A’)
avec r =• ± - ida'-y^b' — <Ja' — 2 b')
x = ±^ (V«’+ 2 A’ — y/a’— 2 A’) avec 7 = db ^ (y^a’ -+- 2 A’ 4- y/a’ — 2 ÏY).
374 ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIRE.
Les valeurs de a: et de j sont les mêmes, sauf l’ordre dans lequel on doit les assembler, par suite de la symétrie des équations. On évitera les fautes de signes en remarquant que le produit xy- doit toujours être égal à 6’.
2®. Soit à résoudre le système
xy = 6.
On déduit de la seconde équation y== -• La première devient
d’oîr
X* — 35 ar’ -f- 2 i6 = o.
Posbns X* = Z et z’. L’équation prendra là forme . Z’ — 35z-h2i6 = o,
d’où
On a d’où
Puisqu’on a
x' = y^27 = 3 et x" -
il viendra ensuite
et y" = ~ = 3.
On aurait pu immédiatement indiquer ces dernières valeurs, en remarquant la symétrie des équations par rapport à x et à/, Qn aurait obtenu plus rapidement l’équation en z, en élevant au cube les deux membres de l’équation xy =6. On aurait eu alors les deux équations
Ces équations montrent que x* et sont les racines de l’éqtiation du second degré z’ — 35z-+-2i6 = o. Le reste du calcul s’acbève comme précédemment,
3“. Soit à résoudre le système
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
On déduira de la seconde équation
c’est-à-dire
xy = ±b, x^ ^ ~ i b^.
Par conséquent, les valeurs de x^ et de j* seront les racines des deux équations du second degré
on rentre donc dans le cas précédent.
4“. Soil à résoudre le système
Posons
x'^:=ll et —
Les équations proposées deviendront alors (77)
u-^<Juv-\-v = a, m’-(- uv y' =. b .
La seconde équation revient à
(a-l-v)’ — uv=b,
c’est-à-dire à
En remplaçant le premier facteur du premier membre par sa valeur a, on aura
On connaîtra donc la somme et la différence des quantités U + V et \/uv- Par suite, on pourra écrire
\uv= = , d ou uv = - — . , •
2 ia za
La question sera ainsi ramenée à trouver deux quantités a
ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIUE.
et V, connaissant leur somme et leur produit ( 190 ). On aura ensuite ;
5 îl 2 . Passons à des systèmes renfermant plus de deux iifconnues. On cherchera à éviter la formation d’équations de degré supérieur au second.
i“. Soit à résoudre le système
Un théorème de calcul (W) nous donnera immédiatement ;
Par suite
ad bd ^ ed
^ ^ V«' + b‘‘ 4- f' ’ \jd‘ -h è’ 4- c’ ^
f r f y£!±2l±!l^ / abc v''«’ 4- è’4- c’ V
2°. Soit à résoudre le système
(ar 4 -r 4 - 2 )’ = Sj'’ 4- 8 (jT 4 - 3 ), x’ =y-+- Z,
On peut écrire comme il suit les deux dernières équations :
ü’ — j’ = ar 4
Si l’on divise membre à membre ces deux équations, on en déduit
p)n combinant.ee résultat avec l’équation a 4-7 = a?’, on trouve
Remplaçons dans le premier membre de l’équation
(,r 4-,>’ 4- 2 )• = !))' 4- 8 (,T' 4 - 2). y-y-z par æ'’.
Digilized by
ALGÈBRE ÉLÉMERTAIRE. i’J'f
(>1 dans le second membre, / el z par les valeurs qu’on vient d’obtenir. Cette équation deviendra
Dans le premier membre, on peut faire sortir x de la parenthèse en l’élevant au carré. On peut multiplier les deux membres par le dénominateur 4- On peut enfin, dans le second membre, remplacer x ’ — i par le produit (x-t- i) (or — i), et comme x' — i est élevé au carré, il faudra aussi élever ce produit au carré. On obtiendra ainsi
4 [x + i)’ = 5 (.r -(- i)’ (j? — i)’ -h i 6 (ax-t- æ:’-|- i).
Le dernier terme du second membre n’est autre chose que iG (.r-H i)C En faisant passer tous les termes dans le premier membre, on pourra donc mettre (x-t- i)’en facteur commun, él l’on aura
Le facteur x -+- 1 ^galé à zéro donne x = — i ; les valeurs correspondantes de / et de z sont /=o et z= i. Le facteur 4 x’ — 5 (x — i)’ — i6 égalé à zéro conduit à l’équation du second degré
x’ — lox-t-ai =o,
d’où
c’est-à-dire
x = 7 et x = 3.
Les valeurs correspondantes de / sont /= 24 et/=4; celles de z sont z = a5 et z = 5. Les quatre groupes de valeurs forment le tableau suivant :
3". Soit à résoudre le système
x’ -f-> ’ — z- — lO ~ a,
