X -)-/-)- z 4 - U —h, y‘=xz, zy— iix
Je mets dans le premier membre de la première éfiualion et dans le premier membre de la seconde x’ (*i x en fadeur com-
■;{^8 ALGCBaE ÉLÉMENTAIRE.
mun. J’oblieiis ainsi
Je pose - =t, et je vais chercher à exprimer les rapports
et - en fonction de t. Je ramènerai de cette manière la ques-
lion à la résolution de deux équalions en x et en t.
Si je divise par x’ les deux membres de l’équation j* = xz,
je trouve ^ Si je divise par x’ les deux membres de
réquation zy = ux, je puis écrire ~ ^ ^ = t*. J’ai donc
l = t, -=r, - = tK
Par suite, les deux premières équations deviennent
La première peut se mettre sous la forme
La seconde peut se mettre sous la forme
en se rappelant que i -i- r + /’ -f- ^ ■ (38)-
Si l’on divise alors membre à membre les deux équations considérées, on obtient
d’où
d’où
Si l’on substitue celte valeur de x dans l’équation x.
on obtient
ÎLliUÜ) = b.
b[i^p) [i — iy
ALGÈBRE ÈLÉkIENTAiRE.
Si l’on remplace i — t* par (i — /’) et
(i + /) (i — i), on trouve
I — par
On peut alors supprimer à la fois le facteur i + <’ et le facteur I — t, communs aut deux termes du premier membre, et réquation devient
On en déduit ' > '
d ou
11 en résulte
Par suite,
On aura donc *
7= /ar:
Ces valeurs sont faciles à vérifier.
, — [ b^ — ay
Problèmes.
213 . Trouver quatre nombres en proportion, connaissant ta somme 27 des extrêmes, la somme 28 des moyens, et celle 754 des carrés des quatre termes. ^
Représentons par — j la proportion cherchée. L’énoncé et
la propriété fondamentale des proportions fourniront les quatre équations suivantes :
r-|-<=27, y-hz=z 28,
xt—yz.
Si 1 on connaissait le produit xl —yz, lu question serait iin-
38o ALGÉBUE élémentaire.
mcdiaienienl résolue. Pour délcrniiner ce produit, ajoutons membre à membre* les deux premières équations après les avoir élevées au carré ; nous aurons
x^-\-2tx -k- /’-4- 2JZ + z’ = 1258.
Mais la troisième équation du système permet de remplacer 4- par 754 ; de plus, xt étant égal à yz, on a
o.xt -+- 7.yz =.^xt.
Par suite, l’équation considérée prend la forme • 754 + 4
d'où
xt = yz = 1 26.
Les deux équations
x->rt=7'] et xt z= \yà
prouvent que -c et t sont les racines de l’équation du second degré
d’où
• c est-a-dire 1 , ou
Les deux équations
y-yz — 7'5 et = 1 26
prouvent de même que yelz sont les racines de l’équation du second degré
d’où
c’est-à-dire
On pourra assembler comme on voudra les différents couples de valeurs. Si l’on choisit les deux premiers, la proportion
cherchée aura la forme = On peut dans cette proportion
changer les moyens de place entre eux sans changer leur somme; de même pour les extrêmes. On retrouve ainsi les autres couples de valeurs.
• ALGÊDHE ÉLÉMKKTAIRE. 38l
21i. Trouver les côtés d'un triangle rectangle, connaissant son périmètre et sa surface.
Je représente par ap le pcrinièlre du triangle et par a’ sa surface. Je désigne par x et y les deux côtés de l’angle droit, par Z l’hypoténuse. L’énoncé et la propriété fondamentale du triangle rectangle donnent immédiatement
X 4 - 7 + Z = zp, xf= 2 s’, x’-t- f = z‘.
La surface d’un triangle rectangle est en effet égale, soit à la moitié du produit des côtés de l’angle droit, soit à la moitié du produit de l’hypoténuse par la hauteur correspondante.
Je déduis de la première équation
J’élève les deux m’embres au carré, j’obtiens
x^ -h 2 xy + = 4p^ — 4pz+zK .
Je remplace dans le premier niembre x^ + y^ par z’et 2 xy par 4i’: il vient
z’ disparaît dans les deux membres, l’équation s’abaisse au premier degré et donne
Pour que le problème soit possible, une première condition est donc qu’on ait y»’ — a’>o ou p ^~^ s \
La première équation du système proposé donne *■ •
xy-r — 2p — Z ,
oti a d’ailleurs
Par conséquent, x el y sont les racines de l’équation du second degré
Si les racines de cette équation sont réelles, elles seront positives (191). La seconde condition de possibilité du proldème est donc
38a ÀLOÈBIIE ÉLÉMENTAIRE.
Cette condition revient à
(/>’ + ou /)’ M- a/M v'a.
Cherchons de quelle manière p el s peuvent varier l’un par rapport à l’autre, et posons K.
L’inégalité trouvée, qu’on peut écrire
donne
ou
K’ — aKv'a + i^’O.
Si l'on pose
K’ — aK\/a+i=o,
on trouve
On pourra remplacer le premier membre de l’inégalité considérée (192), par le produit (K= — K') (K — K"), c’est-à-dire par [K — (v^-i- 1 )] [K — (y^ — i)]. Il faudra donc qu’on ait
K>v^-t-i ou K<^y/â — i.
Mais nous avons déjà trouvé
ou ^> 1 ,
c’est-à-dire
K’ ou K>i.
Il faut donc rejeter la condition K <; — i. De sorte que l’u-
nique condition de possibilité du problème sera
K ou £ > \/â-(- I.
On en déduit
