OU

Ces inégalités indiquent quel est le minimum du périmètre d’un triangle rectangle de surface donnée, et quel est le maximum de la surface d’un triangle rectangle de périmètre donné. Comme l’inégalité considérée se change à la limite en une égalité, on voit que dans les deux cas indiqués le triangle est isocèle, puisque l’équation qui donne xety satisfait alors à la condition générale fc’ — /iac = o.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 383

213 .. Trouver les côtés d’un triangle rectangle, connaissant son périmètre et la somme formée par son hypoténuse et la hauteur correspondante.

Soient x et»/ les côtés de l’angle droit, z l’hypoténuse, u la hauteur inconnue correspondante. On aura évidemment les quatre équationssuivantes entre les quatre inconnues du problème

x-yy-^rz^ip, x’ -t-/’ = 2’,

xyz=zu,

en désignant par 2p le périmètre du triangle, et par a la somme de l’hypoténuse 2 et de la hauteur u.

J’élève la première équation au carré, après avoir fait passer 2 dans le second membre, j’obtiens

x' -{-2xy-i-y‘ — ^p' — /\pz-]-z'.

Je remplace x'+y‘ par 2’, il vient

2xy= 4 />* — ^pz.

Je remplace zxy par 2zu et u par a — 2; je trouve 22 (a — 2) = 4 ;?’ — 4 /’^»

2 ’ — [ap-i-a) Z -h 2 p’ = o.

d’où

Si les racines de cette équation sont réelles, elles seront positives. Il faut donc qu’on ait

d’où

(2^ a)* > 8 /»’ et 2p-+-a^2pfâ.

La première condition de possibilité du problème revient donc à

L’équation

donne

Une seule racine peut convenir. En effet, pour les admettre toutes les deux, il faudrait qu’elles fussent toutes les deux plus petites que a en vertu de la relation 2 -h « = «• Or il est évident que a est une quantité inférieure au périmètre 2p. Il en résulte que la somme des racines de l’équation en 2 étant égale à 2/> -I- a, si l’une est plus petite que a, l’autre sera plus

3 S 4 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

{grande que zp ou que a : elle dévia doue èlrc rejciée. On ne pourra donc admeltre que la plus peiilo des deux racines, celle qui correspond au signe - — du radic.al; cl encore faudra-l-il qu’elle soit plus petite que a. On doit donc satisj^*ire à la condition

zp-\-n — \/{op-hfiY — ^

c'est-à-dire

a'Y>zp — \j[zp + aY — ^p‘‘ ou \l\zp-^ay — Üp^ y> zp — a. J’élève les deux membres de cette inégalité au carré, j’obtiens

(zp-^aY—8p’y>{zp — ay, , .

d’où

Hapy> 8 p^,

c’est-à-dire

La condition ay> p renferme évidemment la condition précédente a'^zp{\fz — i) : c’est donc l’unique condition de possibilité du problème.

Connaissant z, on a

connaissant z et u, on a

• x+y = zp — z et xy—zu.

Parsuite, on trouvera x gi y au. moyen de l’équation du second degré

V’ — [z P — z)^ zu — O.

Appliquons les formules trouvées aux données suivantes : zp=iz, rt=7,4.

La condition ay> p est ici satisfaite, et le problème est possible. On a