iq
d’où
z ~5 et H = 7 , 4 — 5 = 2,4.
X cl J seront les racines de l’équation
d’où
Par conséquent, si x est le plus grand côté, on aura x = 4 Pi y = 3.
ALGr.BRE ftl.ÉMFNTAinr. 335
21G. Délerininer les dimensions d’un pundlétinipède rectmgle dont on connntt la diagonale, la surface totale, et dont lune des arêtes est moyenne arithmétique entre les deux autres.
En appelant x, y, z, les trois dimensions du parallélipipède en représentant sa surface totale par et en désignant par d sa diagonale, on aura évidemment
2 xy -\-ixz-y- 2 yz = s\
2 X z=y-yz.
- La seconde équation peut se mettre sous la forme 2 X [y-{-z)-y 2 yz = sK * y-i~ Z étant égale à 2 x, on en déduit 4 a;’ - 1 - 2 yz —s\
Mais la première équation donne
Si l’on ajoute membre à membre cette équation et la précédente, il vient ‘
4a;’+ (y-hzY = s^y-d^ — x\ . Je remplace y-h zpav 2 x, et j’obtiens 4^’ + 4 a"’ = '.s’ -t- «f’ —
d’où
9 a;’ = A’-t-(/’ et ar =
Le radical doit être pris avec le signe +.
On a alors
c’est-à-dire
d’où
2 sJs^-\-(P
et 4 a;’ -I - 2 )-j = î’.
2.yz = s' — 4 ^% 5s= — 4uf>
et Z étant des quantités positives, il faut (lu’on ait s^f>'i^ :
11'*» ^ c est la la premieri' condition de possibilité du problème.
Connaissant la somme p| le produit ^ 3 , et z seront
38(5 ALCÈBIIE ÉI.ÉMF.NTAIRE.
les racines de l’cquaiion du second degré
5i’ — tid'
Si les racines de celle équalion sont réelles, elles seront posilivcs. On doil donc avoir
On en déduil facilemenl
s‘‘ c^id} :
c’esl là la seconde condition de possibililé du problème. Pour que le problèint! soil possible, d étant donnée, s’ doit varier
entre ad’ et Si s’ est donnée, d doit varier entre
et
On a
d’où
Js’-i-d’ , /s'-^-d^ 5s’ — 4 d’
Si resl la plus grande des deux arêtes r et z, on aura y/s’-l-d’ , ^ /ad’ — s’ __ y/s
f’ /ad’ — s’ i/i'-i-d’ /ad’
217. Nous terminerons ces applications en traitant le système suivant
Nous ferons usage d’un artifice de calcul utile à connaître. .
La somme des quantités x &\. y étant égale à a, ces quantités seront racines d’une équalion du second degré de la forme
z‘‘ ~ az q = O.’
’ ^ .qui représente le produit xj esl inconnu et doil prendre les valeurs nécessaires pour que les équations en z correspondantes donnent toutes les valeurs de x et de y.
Étant donnée l’équation
x'‘-y px + q = O,
ou a, d’une manière générale, en désignant par r' el x" les
ALCÈDRE ÉLÉMENTAIRE. 38 ^
racines de cette équation,
Il en résulte
.r'» + x”' ={x' -h x") ’ — 7 , .r'x" = p’—zq.
De même,
x'>-hx"^= (x' +x"Y— 3 x'x"{x'-{-x'') = —p^-+ 3 pq. Enfin
x''-hx">={x’^-j-x^"^)^— 2x”x’"‘=[p^— -iqY- 7 .q\ •c’est-à-dire
Si l’on revient maintenant à l’équation — az + q = O
dont les racines sont x et r, ces racines devront donc satisfaire à la relation
x' jr* z= a' — ^a'q -l-ar;’,
puisqu’on a dans le cas considéré p = — a. En vertu de l’équation
on aura donc
et l’on pourra déterminer q.
L’équation précédente, mise sous la forme
donne
^ 2rt’± \!^n' — 7rt‘ 7 .b* ± v^2 [a* -+-~h^)
Supposons qu’on ail
Il faudra Xaire On aura
a = q et = 64 1 .
„ q8±\/2 24oi-t-b4i 98±78 , . . (^'=88,
q—- = É, c est-a-dire
2 2 |7"=io.
Les valeurs de x et de j seront donc déterminées par les deux équations
388 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
La première <lüime
jdz v^4o — 4 7 — — 3 o3
d’où
ou
■ = i — I Cl r= »
La seconde êf|ualion donne
d'où
ou
7±V^49 — 4- io 7=!=3
,r = 5 el y'— 7, x=7 Cl = 5.
