QUESTIONS OE MAXIMUM ET DE MINIMUM

218. Lorsqu’une grandeur variable, après avoir augmenté d’une manière conlinue pendant un certain temps, diminue ensuite de la même manière, elle passe par une valeur plus grande que celles qui précèdent ou qui suivent immédiatement. On dit alors que la grandeur considérée passe par un maximum.

Lorsqu’une grandeur variable, après avoir diminué d’une manière conlinue pendant un certain temps, augmente ensuite de la même manière, elle passe par une valeur plus petite que celles qui précèdent ou (pii suivent immédiatement. On dit alors que la grandeur considérée passe par un minimum.

Supposons, par exemple, la section d’un terrain accidenté par un plan vertical, el rapportons les différents points du profil obtenu à une horizontale prise pour aXe de comparaison, en abaissant des perpendiculaires des différents points du profil sur l’horizontale choisie.

Si l’on regarde comme grandeur variable la perpendiculaire qui représente la hauteur d’un point quelconque du

AIGKBRE Él.ÊMEMAIRE.

prolil au-dessus de Taxe tle comparaison, on verra (juc le soni-

nicl d’itne colline correspondra à un maximum, le fond d’une vallée à un minimum. Le point A répond à un maximum, le point B à un minimum.

Ilcmarquons que, d’après l’exemple même qu’on a choisi, une {!;randeur variable peut présenter plusieurs maximums et plusieurs minimums ; un certain minimum peut donc être jdus grand qu’un certain maximum. Il faut bien comprendre, en effet, que le ma.ximum ou le minimum d’une grandeur n’est relatif qu’à la série des valeurs voisines, c'est-à-dire celles (]ui viennent immédiatement avant ou après,

I^es Mathématiques supérieures donnent une théorie générale des maximums et des minimums. Nous traiterons seulement quehiues questions qui peuvent se résoudre à l’aide des équations du second degré ou des éiiualions bi-carrées.

21!). I. Lu somme de denx faeteurs étant constante, chercher entre quelles limites peut varier leur produit.

Nous allons appliquer à celte (|ueslion déjà résolue (2^c, III), le procédé régulier que nous voulons indiquer.

Soit a la somme donnée, rcprésenlons par x et par y les deux facteurs, désignons par z leur produit variable. On aura les deux équations

X 01 useront donc les racines de l’équation

X et y étant des quantités supposées réelles, il faut que l’équation en U ail des racines réelles; ce (|ui entraîne la condition

-j-— ; >0 ou J'

Le produit 3 devant toujours être inférieur à

a pour

limite supérieure ou pour maximum cette même quantité. Lors-

qu’on a Z = -f ■> les racines de l’équation en u deviennent

égales, imis(|uc la condition tonve retuplie.

l’ar consé(|uent, le produit de deux facteurs dont la somme est constante est maximum , lorsque ces deux fadeurs sont

3gO ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

égaux entre eux, c’est-à-dire lorsque chacun d'eux est égal à lu moitié de la somme donnée.

Si l’on veut chercher les valeurs de x cl de y qui répondent à un produit donne, il suffira de remplacer z par la valeur correspondante dans la formule

Il n’y a pas de produit minimum. En effet, la somme des deux facteurs étant a, si l’on fait croître le facteur x au delà de a, le facteur y deviendra négatif et d’autant plus grand en valeur absolue que x sera plus grand. Le produit z devient alors ^ négatif et peut, par conséquent, décroître algébriquement (168) au delà de toute limite, sans que la condition de réalité des racines de l’équation en u cesse d’être vérifiée.

220. La question que nous venons de résoudre fournit la solution immédiate d’un grand nombre de problèmes de géométrie. Nous citerons les suivants.

1 ®. üe tous les rectangles de même périmètre 2 p, quel est le plus grand?

La somme de la base x et de la hauteur y du rectangle étant constamment égale à p, le produit xy de ces deux dimensions

est maximum, lorsqu’on a x=y=z^, c’est-à-dire lorsque le

rectangle devient un carré,

a". Inscrire dans un carré donné le carré minimum. Soit le carré ABCD. Si je prends sur les différents côtés et dans le même sens quatre longueurs égales AE, BF, CG, DH, la figure inscrite EFGII sera un carré. En effet, tous les triangles rectangles EBF, FCG, GDll, HAE, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux : leurs hypoténuses sont donc toutes égales. «De plus, les angles FEB et AEIi sont complémentaires : l’angle HEF est donc droit, et la figure EFGII est un carré. Ceci posé, la surface de ce carré sera minimum, lorsque la somme des triangles rectangles qui, ajoutés à ce carré, complètent le carré donné, sera maximum. Pour qu’il en soit ainsi, il suffit que l’un de ces triangles soit maximum. Or la somme BE -i- BF est constante et égale au côté du carré donné. Le produit EB X BF ou la surface du triangle EBF sera donc maximum, lorsqu’on aura EB = BF. Il faut donc que les points E, F, G, H, soient les milieux des côtés du carré donné.

221. Le théorème précédent peut être étendu à un nombre quelconque de facteurs positifs. /lutant de facteurs qu'on

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ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 89

voudra ayant une somme constante, leur produit sera maximum lorsqu’ils seront tous égaux entre eux.

Supposons qu’on ait

Admettons, pour un instant, que le produit xyzuv... soit maximum. Je dis qu’il est impossible de supposer que deux facteurs quelconques x et/, par exemple, soient inégaux. En effet, on pourrait alors remplacer chacun d’eux par leur demisomme sans changer la somme a; mais on aurait en même temps, d’après ce qui vient d’ètre démontré (218),

c'estrà-dire

xyzuv

zuv. .

Si l’on a n facteurs, chacun d’eux devra donc être égal à

-J si l’on veut former le produit maximum.

On peut déduire de là que la racine d’un produit de n facteurs, c’est-à-dire leur moyenne géométrique, est inférieure à la n‘^‘ partie de leur somme, c’est-à-dire à leur moyenne arithmétique, pourvu que deux au moins des facteurs considérés soient inégaux.

En effet, on a nécessairement

xyzuv . . . <[

JT -t- V -t- 2 -1- -4- (' -t- . . . \ "

en prenant chaque facteur égal à la n'*"' partie de la somme (|u’ils forment tous ensemble ; et il en résulte

! xyzuv. . .

222. Dans certains cas, ce n’est pas la somme des facteurs dont on demande le produit maximum qui est constante, mais bien celle de leurs carrés ou de leurs cubes, etc. La réponse à la question est encore la même.

Supposons qu’on veuille inscrire dans un cei'cle donné un rectangle dont [aire soit maximum.

Si l’on désigne par x et / les dimensions du rectangle et par Z sa surface variable, on aura

xu- = Z.

De plus, la diagonale du rectangle étant nécessairement un

3yi Al.Gi-UIlF. ÉLÉMEATAIBK.

diamèlre du cercle circoiiscril, on aura aussi

en désignant ce diamètre parD.

On remarque alors que si z est maximum, z'‘ l’est aussi. On a d’ailleurs = s’. La somme des deux facteurs et r’ étant constante, leur produit sera maximum lorsque la condition x^=y^ ou x=r sera remplie. Le rectangle inscrit maximum se confond donc avec le. carré inscrit.

223. 11. Décomposer un nombre donné en deux facteurs dont la somme soit minimum.

Désignons par a le nombre donné, par x et y les deux fac- . tours, par 5 leur somme variable. On aura

xy = a, x-hy=z.

X et J seront donc les racines de l’équation M ’ — z .U y- a = o.

X et >• étant dos quantités réelles, il faut que les racines de cette équation soient réelles, c’est-à-dire qu’on ait

3’ — ^a~^o ou z'i^isfâ.

La somme variable z ou xy-y devant toujours être supérieure à 2 a pour limite inférieure ou pour minimum cette même quantité. Les racines de l’équation en u deviennent égales quand z atteint son minimum, et l’on a

X = Y= - = \Ja.

La somme de deux facteurs formant un produit constant est donc minimum, lorsque chacun de ces facteurs est égal à la racine cariée du produit donné.

11 n’y a pas de maximum absolu. En effet, l’un des facteurs devenant très-grand, l’autre devient très-petit x devenant

m\fa,y devient^- La somme .r y- y peut donc devenir aussi

grande qu’on voudra, positivement ou négativement. Par rapport à la série des valeurs négatives, z = — 2 est un maximum.

On peut étendre le théorème qu’on vient de démontrer au cas d’un nombre (luclconque de facteurs. Suiqiosons ((u'on ait

xyzuv. . . — a.

Je dis que si la somme .r -t- r-f- ; -I- « -f- ctt-, . . est suppo

< A1.GÈBKE ÉLÉMEKTAIBE. 3()3

!îée niiniiiium, il est impossible d’ailmetire que deux fadeurs (|uclconques, x ei p par exemple, soient inégaux. Je suppose ici tous les fadeurs positifs. En effet, si les deux facteurs considérés n’étaient pas égaux, on pourrait remplacer chacun d’eux par la racine carrée du produit xy sans rien changer au produit «; mais, d’après ce qui précède, on aurait alors