X -H .K > ^ xr -+- \/ xr

et, par suite,

x.-hy-k- Z -H « -H e > \txy->r \lxyy-z ...

Si l’on a n fadeurs, chacun d’eux devra donc être égal à ÿ'«, si l’on veut former la somme minimum.

2-24. III. La somme de deux nombres positifs x et y étant donnée, trouver le maximum du produit x>‘ y^, p et q étant s/es nombres entiers positifs.

Supposons qu’on ait x-yy—a. Je ne changerai rien au produit xfy^ en le multipliant et en le divisant à la fois par pe et qi. J’aurai alors

xP ys I / y\'' . . ,

xPys = pPqi — • z=pPqs [ ~ ) ( •- • Le maximum du se-

t 'i pP qn ^ \p J \qj

coud membre ne peut dépendre de la quantité constante pPqf. (.'herchons donc celui du produit • Ce produit est

composé de p facteurs égaux a - et de q facteurs égaux a y

La somme de ces p-^q facteurs est donc égale à p.

c’est-à-dire àÆ^-t-.>’ ou a. Le produit sera donc maximum, loi-sque tous les facteurs considérés seront égaux entre eux (220), c’est-à-dire lorsqu’on aura

Cette relation, jointe à l’équation x-hy= a, permettra de déterminer X et y.

On voit que le produit est maximum, lorsque les facteurs X et y sont proportionnels à leurs exposants p et q.

A l’aide de ce théorème, on peut résoudre un grand nombre de questions géométriques. Nous en indiquerons quelquesunes.

I®. Inscrire dans un cercle donné le triangle isocèle de surface maximum. Je mène un diamètre Al); d’un [loint C ([uch onque, |iris sur la circonférence, j'abaisse sur ce diamèire la perpendiculaire CIt : le tiiangle (IVB est isocèle. Si le point C choisi se

ALCLbHE ÉLÉMENTAIRE.

confond avec le i)oint A on avec le point U, la surface du triangle est egahï à zéro. Entre ces deux résultats, il y a un inaxinuim. Je désigne par 2 x la base CB du triangle et par y sa hauteur. Si j’appelle S' sa surface variable, j’aurai

xy =

J’exprimerai ensuite que le triangle est inscrit dans le cercle de rayon R, en posant

Il revient au même de chercher le maximum de xj ou celui de Chercher le maximum de x‘y, c’est chercher celui de J)* (2 R — ^ en remplaçant x’ par sa valeur en fonction de J. Je remarque alors que la somme des deux facteurs ) -|-(2R— j) est égale à la quantité constante 2II. Par suite, la valeur de >• qui correspond au maximum satisfera à la relation

d’où

La hauteur du triangle isocèle cherché doit donc être égale

aux - du rayon, c’est-à-dire que ce triangle se confond avec le triangle équilatéral inscrit.

2". On donne une feuille de carton carrée, et l’on demande de construire avec cette feuille la boite de volume maximum. Pour construire une boîte de volume uuclconuue. il faudra

n F HO

Le volume variable V de la boîte, qui est un parallélipipède rectangle de base abcd et de hauteur x, aura pour expression

ri