A Ë OU

mener quatre parallèles EF, GH, IK, LM à égale distance des quatre côtés du carré \B(iI). On enlèvera les quatre carrés A«, Bà, Ce, l)d, déterminés sur les angles; et en relevant les parties rectangulaires, on formera une boîte ayant pour fond le carré abcd.

Appelons 2/ le côté AB et x la distance AE.

La somme des facteurs (/ — x) et x étant égale à la quantité constante /, la valeur dex (jui correspond au maximum de V <levra satisfaire à la relation

ALCÉBRZ ÉLÉMEKTAinE.

d’üù

3 ". Circonscrire ù un cylindre donné le cône de volume minimum. Soit le rectangle ABCD, soit aussi le triangle rccutngle SBK. l’endanl que le rectangle en tournant autour de AB engendre un cylindre, le triangle engendre un cône circonscrit au cylindre obtenu. Si SF se confond avec ^ CD ou avec AC, le volume de ce cône devient w i> r inrini; entre ces deux valeurs infinies, il y a un ininiiniiin.

Désignons par h la hauteur du cylindre et par /• le rayon île sa base; appelons la hauteur du cône et x le rayon de sa base. Son volume variable sera ■ , ,

Mais les triangles semblables SBF et CDF donneront

d’où

Il viendra par suite

ry

V = - jr /

Chercher le minimum de V, c’est chercher le minimum de

[y — h y >•* — 2liy-i-h'‘ i 2/1 //’ '

On |»out mettre cette dernière expression sous la forme

Le minimum de cette fraction, dont le numérateur est constant, correspond au maximum de son dénominateur. La somme

des facteurs — et 1 — — étant égale à la (juanlité constante 1,

la valeur de r ipii rendra le dénominateui maximum sera

Digilized by Coogle

•lufuiée par la rclalion

il'où

Al.GEDUE ELEMEMXA 1 KE.

yz= Z h.

I.a liauleiir du cône de volume minimum esl donc égale à irois fuis celle du cylindre donné.

^25., Proposons mainlenanl la question suivatile ; Éludier la sérielles valeurs du trinôme du second de^ré ux‘‘-y bx -h c, lorsqu'on fait passer x par toutes les valeurs réelles possibles, i“. Cas des racines réelles et inégales. Supposons qu’en égalant le trinôme ax^-ybx + c à zéro, on trouve deux racines réelles et inégales x' et x". On ])ourra alors mettre le irinôme, soit sous la forme (103)

a (xr -

soit sous la forme { 194) ,

- ou a

lé-

1 ae

K’ représentant la quantité

Les valeurs du trinôme auront le signe de a, lorsque x sera plus grand que la plus grande racine x' ou plus petit que la plus petite x" -, les valeurs du trinôme auront un signe contraire à celui de a, lorsque x tombera entre x' et x" (195).

Pour fixer les idées, supposons a positif. Si l’on fait croître x depuis — ao jusqu’à la plus petite racine x", le trinôme décroîtra, en restant toujours positif, depuis -+-oo jusqu’à zéro.

C’est ce que montre l’expression ■+" ~ j jusqu’à

ce qu’on arrive à faire x — x". Pour cette valeur, le trinôme s’annule en vertu de rexpeession a {x — x'] (x — æ-'), et il n’a pu s’annuler jiour aucune autre valeur.

Si l’on continue à faire croître x, le Irinôme cliange de signe cl devient négatif, puisque x tombe entre x' et x". Le trinôme redevi

en passant ))ar

pour revenir à zéro, il a <lù passer par une valeur négative plus grande que toutes les antres en valeur absolue, c’est-à-dire par un minimum algébriiiue. Ce minimum correspond évidemment à la ])lus petite valeur du terme

Ljviviii w ^ —

vient nul pour ar= a;' ; il change donc deux fois de signe lassant par zéro. Mais dans l’intervalle, parlant de zéro

<lans l’ex-

Digilized by

pression ti h

ALGi:BI\E ÉLÉMENTAIRE.

-J — ’ valeur qui est zéro pour

ou — a

ou pour .r :

— ^ac ^ac — />’

Ce minimum csl donc — «K’

.r croissant au delà de x' jusqu’à as , le trinôme, redevenu positif, croît depuis zéro jusqu’à oo .

Si (Test négatif et égal à — n' , il faut prendre l'inverse de tout ce qui précède, x croissant depuis — x jusqu’à .r", le trinôme croîtra depuis — x jusqu’à zéro, x continuant de croître depuis ar" jusqu’à x' , le trinôme deviendra positif et atteindra son

b^ — Aac Aac—b' '•x’+x"

maximum rt k’ ou — a. — j — — = 7 — pour a: =

4 rt’ 4 ^ 2

Vu delà de x = x', le trinôme redeviendra négatif et fiécroîira depuis zéro jusqu’à — x .

2 ”. Cas des racines égales. Dans ce cas, le trinôme peut se mettre sous la forme

ou

11 conserve toujours le signe de a et admet le minimum ou le maximum zéro, suivant que a <*st positif ou négatif. Ce mini-

inum ou ce maximum correspond à a; = ar' ou à a = —

3“. Cas des racines imaginaires. Si les racines sont imaginaires, on peut mettre le trinôme sous la forme

c i)^ ^ fie A*

k’ étant ici égal à y-— ou à — (194). Le trinôme

rt 4 ^ 4 «

conserve donc toujours le signe de a. Si n est positif, if est

4«c — lé

susceptible d un minimum rtk’=-^ — — > cpii correspond

à x= — Si rt est négatif, le trinôme est susceptible d’un maximum qui a la meme expression algébrique que le minimum précédent, et qui correspond aussi à x = —

22G. Comme dernier exercice, cherchons si l’expressl%n

ax^-+-bx-hc ^ .11 f

—7— T est susceptible d un maximum et

a'xé -1- b'x c' •

générale

d'un minimum, et dans quels (;as il en est ainsi.

J.e pose ■

ALCÈBKE f.LÈMENTAIRK.

(IX^ bx -h C (l'x'-h b'x -H ’

(l’où

X devant être une cjuanlilé réelle, on doit avoir

[b — //>•)’ — 4 (rt — fi'.r) ('' ~

d’où

(b’’ — — 2 (bb' — sac' — 2 ca')y -i- b^ — > o-

Égalons à zéro le premier membre de cette inégalité, nous en déduirons

bb' — 2 .nc' — 2 ca'±<J{bb'— 2 nc ' — 2 cn'Y— (//^— 4«'c') (/>'— 4«c) “ 6"-4a'e'

c’est-à-dire, en simplifiant,

bb' — 2 nc' — 2:ca'±2yJ[ac'—ca'Y-k- [c.b'—bc'] [ab' — -bn') b'^ — 4a'c'

i”. Si l’on suppose //’ — le premier terme de

l’inégalité en r est positif.

Par consé(|uent, si les racines >•' et y" sont imaginaires ou égales, c’est-à-dire si l’on a

[ac' — cn'Y -I- [cb' — bc') [ab'^ ba') <1 o, ou

(rtc' — ca'Y -i- [cb ' — bc') [ab ' — ba') = o, .

l’inégalité considérée sera satisfaite pour toutes les valeurs réelles attribuées à y (195), et par suite l’expression générale donnée ne sera susceptible d’aucun maximum ou d’aucun minimum autre que + oo ou — co .

Si les racines y et y" sont réelles et inégales, c’est-à-dire si l’on a

[ac' — ca')^-y [cb' — bc') [ab’ — ba')'^ o,

on pourra donner à y toutes les valeurs possibles, pourvu que ces valeurs ne tombent pas entre y' et y" (195). Si 'y' est la plus grande racine, on devra donc avoir et y<Cy"- Par

conséquent, y' représente un minimum et y" représente un maximum, y' est un minimum par rapport à la série des valeurs de la fonction proposée qui, commençant à j', se termine à -t-xi . y" est un maximum par rapport à la série des valeurs d(» la fonction proposée qui, commençant à y", se termine à — 00 . Le minimum est plus grand que le maximum, parce ([u’il s’agit d’un minimum et d’un maximum relatif (217).

La valeur de x qui correspond au minimum est évidem-

nieni x’

ALGÈORt: ÉI-ÉMEMAIIiE.

est x"=

) Cl celle qui correspond au maximum

2 (ff — a' y"] ' valeurs j' cl y", le

premier membre de l’iiiégalilé en y s’annule, et les racines de l’équation en x deviennent égales.

2 °. Si l’on suppose Z.'»- 4c('c'<o, le premier terme de* l'inégalité en y est négatif.

Par conséquent, lorsque les racines y' et r" sont réelles et inégales, on peut satisfaire à l’inégalité considérée pourvu que les valeurs de y tombent entre j' et y" (195). Dans ce cas ,)•' représente le maximum de la fonction considérée, y" représente son minimum. Le maximum est nécessairement plus grand que le minimum, parce qu’ils font partie de la même série de valeurs, et qu’il-iTy a pas entre eux de lacune ou d’alternatives de croissance et de décroissance.

Lorsque les racines/' et /" sont égales, l’inégalité ne peut être satisfaite que pour la valeur / = /' (19.5), et l’expression proposée doit, par la suppression d’un facteur commun, se réduire à celte valeur.

Enfin il est impossible, dans le cas considéré, que les racines y' et y" soient imaginaires ; car aucune valeur de / ne pourrait satisfaire à l’inégalité (195), de sorte que /ne pourrait prendre aucune valeur. Cette conclusion est évidemment absurde en

, J . ' ax' -y hx c

vertu de 1 équation -r-, t, : = r.

3“. Si l’on suppose b'" — ^a! c' = o, l’inégalité en / s’abaisse au premier degré, et l’on en déduit facilement le maximum ou le minimum de la fonction.

227. Appliquons à des exemples'la solution générale que nous venons d’indiquer, et remarquons qu’il n’y a de maximum et de minimum que lorsque les racines de l’équation en / sont réelle? et inégales. Si 6" — 4a't?' est une quantité positive, la plus grande racine est un minimum, la plus petite est un maximum. Si b '' — 4«'<-' PSt une quantité négative, c’est l’inverse qui a lieu.

I". Cherchons le maximum et le minimum de la fonction x' — -f.x -y 21 6x — 14

Egalons celle expression à /. Nous aurons

d’où

^oo AIGÈBBE f.I.ÉMENTAlllE.

La condiliuii ilt* réalilo de x donne

(i-t-3r)’ - 3.1 — i4r>o, d’où — 8r— 2 o>o. ,

J’égale le premior membre de l’inégalilé à zéro. J’obliens pour racines

4 ± yV6 + 180 4 ± ' 4 j

On a ici — 4rt' t' > o, puisque a' esl nul. Par suite, le minimum des valeurs positives sera r'= 2 , et le maximum des

valeurs négatives sera j"= — • Pes valeurs de y ne pour-

ront pas tomber entre 3 et — — • Les valeurs de x qui correspondront au minimum et au maximum seront

ar' = I -t- 3r' =7 et x" ~ i y- 3 >•"= — | •

2". Cherchons le maximum et le minimum de ht fonction

Égalons cette expression à y. Nous auroivs

d’où

(1 1 - 6y) ar’-t- (i — /) ar — (4 -f-j) = o.

La condition de réalité de x donne

(i -r )’+4 {" — fij) ( 4 -!-/)>«.

d’où

J’égale le premier membre de l’inégalité à zéro. J’obtiens pour racines

— 2'j± v'729 -1-23x177 — 27±iov^

c’est-à-dire

.r' = i,8383 et r"=-4.'8<ii.

à moins de 0 , 0001 .

On a ici //’ — 4rt'c'<o. Par suite le maximum de la fonction est j'= > ,8383; le minimum est r" = — 4i'8^'peut recevoir que des valeurs comprises entre.ces deux limites. Les valeurs de a: qui correspondent au maximum et au mini-

ALOÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

4oi

mum sont

ÇOESTIONS PROPOSÉES.