Supposons maintenant, dans l’égalité
-I- S,i 4- • ■ • 4 - S„i .r -H Sm,
tous les seconds ternies des binômes égaux à a. I.e premier membre deviendra. (x + «)'". Il faut chercher ce que deviendront dans le .second membre les quantiiés S,, S,, S 3 ,...,
algèbre ÉLÉMEKTAIllE.
4lO
S, csl la somme des seconds termes des binômes; ces seconds termes devenant tous égaux à a, j)uis(|u’il y a m binômes, on aura
S, = ma.
S, est la" somme <les produits 2 à 2 des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons 232 formées avec ces seconds termes. Tous ces seconds termes étant égaux à a, toutes les combinaisons deviendront égales à S, est donc égale à multiplié par le nombre de combinaisons de m objets m [m — I ) , ,
pris 2 a 2, qui est — ^ ün aura donc
Fk • c , , , mfm-
Ue meme, S3 sera égalé a - — ^ —
D’une manière générale. S, est la somme des produits n 4 "
des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons n à n de ces seconds termes. Tous ces seconds termes étant égaux à a, toutes tes combinaisons deviendront égales à S, sera donc égale à a" multiplié par le nombre de combinaisons
, . , . mlm — i)(m — — n-t-i)
de in objets pris «an, qui est — ^ — —
On aura donc
Enfin S„, représentant le produit des m seconds termes des binômes, deviendra égale à a'", et l’on pourra écrire ;
I X - 1 - n )•' = X" -t ax"~'
On voit que ce développement contient m-f-i termes. Les termes extrêmes sont æ™ et n”. Dans les termes intermédiaires, l’exposant de x va en diminuant et l’exposant de a en croissant d’une unité, en passant d’un terme au suivant, de sorte que, dans chaque terme, la somme des exposants des deux lettres est toujours égale à m.
Quant aux coefficients, les ternies extrêmes ont pour coefficients l’unité, et les termes intermédiaires les différents nombres de combinaisons (|u’on peut former en prenant m objets I à 1 , 2 à 2, 3 à 3 , . . . , /I à ;i , . . . , /n — i a ni — 1 .
ALGÈBRE - ÉLÉMENTAIRE
4ii
238. Les coefficients des termes à égale distance des extrêmes sont égniix. En effet, le terme qui en a n asanl lui, a pour coefficient C„; Je terme qui en a n après lui en a m — n avant lui, puisque le développement contient /« -+- 1 termes:
,il a donc pour coefficient C«„. Et nous avons démontré (233) qu’on avait
— - fifl, — n*
239. En examinant les terqjes successifs du développement de (a: on voit que, pour déduire un terme du précédent, il suffit de multiplier le coefficient du dernier terme formé par l’exposant de x dans ce terme et de le diviser par le rang de ce terme ou par l’exposant de a dans le terme qu'on veut écrire. Quant aux exposants, on ajoute i à celui de a, on retranche i de celui de x.
Ainsi, le terme général étant
m[m — i) (m- 2 )...(/w + /»-Hi)
le terme suivant du développement est
m[m — i) (nt — a) . . . fm — n-\- i) (m — n)
D’après cela, on écrira immédiatement
(x + a)’= x’ ’]ox* + 21 35a’x* -t- 35a* x’
-fr- 2 1 rt* x’ -(- 7 a* X a’.
Si l’on avait à opérer le développement d’une puissance quelconque, entière et positive, d’un binôme de forme quelconque comme 8a'-|-5a’è, on poserait
8 a’ = A , 5 fl’ è = H ,
et l’on déterminerait d’après la règle précédente la puissance correspondante du binôme A-f-B. On exprimerait ensuite les différentes puissances de A et «le B, en fonction de a et de b.
La formule trouvée étant vraie quel que soit a, ne dépend pas du signe de a. Si a change de signe, l’égalité démontrée subsistera, et dans le second membre, les termes qui contiennent a à des puissances impaires changeront seuls de signe, c’est-à-dire que les signes -t- et — alterneront. On aura
(x — fl)’ = x’ — 7 X«x“ -f- 2 1 fl’ x’ — 35 fl’ x' ,
-t- 35 fl'x^ — 21 fl’x’-l- 7 fl“x — fl’.
2i0. Nous avons vu (238) que les coefficients des termes à égale distance des extrêmes étaient égaux
I*ar conséi|uent, si m est impair, le nombre des termes du
4*2 ALGÈBRE ÉLÉME«TAIUE.
(iéveloppemenl /«-f-i est pair, et tous les coefficients se reproduisent deux "fois. Il suffit alors de calculer la moitié des coefficients, puis de les répéter dans l’ordre inverse. Ainsi
(æ: -I- a)* = Æ* -|-gÆr*-)- 36 a’j:’ - 1 - 84 a’jc'-l- ii&al'X*
-i- 84 a' x’ -I - 36 fl’ x’ -h 9 rt“ .r -|- rt* .
Si m est pair, le nombre des termes ni i est impair, de sorte qu’il y a au milieu un terme dont le coeHicient ne se reproduit pas. Il faut, alors calculer la moitié des coefficients plus un. Ainsi
*■ (x -f- rt)* = X* -|-8a-r’ -|- 28 a’x' -f-56a’x^-|- 70o'x*
-i- 56 a‘ X* -I- 28 rt* x’ -t- 8 a’ X fl “ .
Ce qui précède indique de quelle manière il faut combiner des objets donnés, pour obtenir le plus grand nombre possible de combinaisons. Si l’on a 9 objets, il faudra les combiner 4 à 4 ou 5 à^5 : le nombre des combinaisons est alors 126; c’est ce qu’indique le développement de (x-|-rt)’. Si l’on tit 8 objets, il faudra les combiner 4 à 4 le nombre des combinaisons est alors 70, d’après le développement de (x -(-«)*.
On peut préciser davantage les remarques qu’on vient de faire. Le coefficient du terme général du développement est
Ce coefficienT croîtra tant que la fraction
sera
plus
grande que 1. De l’inégalité
> I on déduit
m -t- I représente le nombre des termes du développement, n représente le nombre des termes qui précèdent celui qu’on considère, de sorte que «-+-1 est le rang de ce terme.
On voit par là que les coefficients augmenteront, tant que le nombre des termes du développement surpassera le double du nombre des termes déjà écrits.
Supposons m impair, m i sera pair, et l’on pourra poser m+i = 2p. L’inégalité deviendra alors p'^n. A la limite,
un aura p = n, et la fraction deviendra égale à i.
Il y aura donc deux coefficients identiques à la suite l’un de l’autre, et ils se présenteront quand on aura déjà écrit la moitié des termes du développement.
Si m est pair, m -|- 1 sera impair, cl l'on pourra poser m + 1 = 2/> 4- 1 . L’inégalité deviendra 7 .p+ïf> 2 n, d’où
ALGtBIlE ÉlÊMENTAinE.
/>4- ^ > fl. Comme il s’agit de nombres entiers, on ne*pourra
jamais avoir p-\-- z=n. La fraction ne sera donc
jamais égale à i et, par conséquent, il n’y aura jamais à la suite l’un de l’autre deux coefficients identiques. On atteindra le plus grand coefficient, celui qui ne se répète pas, quand n sera égal à /i; et alors le rang du terme où le coefficient est le plus grand possible, est représenté par ce terme est donc te
terme du milieu.
Si m est impair^e terme de rang p = — - — a le mente coefficient que le terme suivant. Or, dans le terme de rang p, l’ex-
, , , »i -H 1 ni — 1
posant de rt est — i , c est-a-dire — t= — - — : tandis
que I exposant de x est m — [p — i ) = m -f- 1 — /> = La
différence de ces deux exposants est égale à i. On sera donc averti qu'on est arrivé à la moitié du développement, lorsque l'exposant de x surpassera celui de a d'une unité.
Si m est pair, le terme de rang p-\-i est seul de son espèce, et ce n’est qu’au delà de ce terme que les èoefficients se répètent. Dans ce terme, l’exposant de aesi p= ~ La somme des exposants de x et de a devant être égale à m dans un terme
quelconque, l’exposant de x sera aussi égal à — dans le terme
considéré. On sera donc averti qu'on est arrivé au terme du milieu, lorsque les exposants de x et de a se trouveront égaux.
241. Si dans le développement de [x- Æ- = I et rt = I, il vient
■a)"' on suppose
fl
La somme des coefficients du développement est donc égale à 2". Le premier coefficient ne désigne pas un nombre de combinaisons. Si on le retranche des deux membres, il vient
2”' I = Cl -+- C» -+- Cj . . . -(- Cn - 1 - • • • ” 1 “ C«1.
Ainsi, la somme des combinaisons qu’on peut faire avec m objets en les prenant de toutes les manières possibles, c?està-dire i à i, 2 à 2, 3 à 3,..., n an,..., m à m, est égale à 2" — i.
ALGÈBnE élémentaire.
Si l’on fait x = i et < 1 = 1 , dans le développemenl de on obvient dans le second membre la différence qui existe entre la somme des coefficients de rang impair et la somme des coefficients de rang pair : cette différence est donc nulle quel que soit m.
