THÉORIE DES LOGARITHMES

De l'expression a^.

243. Nous avons déjà démontré [Àrith., 189, note) : 1 ° que les puissances successives d’une quantité positive plus grande que I , croissaient avec l’exposant de manière à devenir plus grandes que toute quantité donnée; 2 “ que les puissances successives d’une quantité positive plus petite que i, diminuaient à mesure que l'exposant croissait, de manière à tomber audessous de toute quantité donnée. Mais ces démonstrations supposaient l’exposant entier et positif.

Considérons le cas où cet exposant est fractionnaire et égal .

à L’expression a!’ revient à J'n'’- Si a est plus grand que 1 ,

or sera plus grand que 1 et il en sera 3e même de '!ja‘“t car une ^ quantité plus petite que 1 élevée à la puissance 9 , donnerait un

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 4*5

rôsullal inférieur à i. De plus, si l’on fait croître-, il en sera

(le nn^inc évidemment de ai {*).

Si P est égal à i et si l’on a ai, à mesure que q augmentera ,

(tf diminuera en restant supérieur à i, mais en en approchant

autant qu’on voudra. Posons, par exemple, ai <C, i-)-a,aétant une quantité aussi petite qu’on voudra. En élevant les deux membres de l’inégalité à la puissance q, nous aurons

condition à laquelle on peut toujours satisfaire puisque i -t-a surpasse i [Àrith., 189, note).

Si a est plus petit que i, l’expression n^ou y' «r est inférieure à I. En effet, ac est inférieur à i, il en est donc de même de. yaP ; car une quantité plus grande que i élevée à la puissance q, ne pourrait donner qu’un résultat supérieur à i. De plus, si

l’on fait croître - , il est évident que ai diminuera {!*).

Si P est égal à i, et si l’on a ai, à mesure que q augmentera,

al augmentera en restant inférieur à i, mais«en en approchant autant qu’on voudra. En effet, a étant plus petit que i, on peut

( * ) Si l'on a

on en déduit Par suite

c’est-à-dire

(’'*) Si l'on a

on en déduit Par suite

c’est-à-dire

p'h> Pi'-

P' ^ al > al .

aP'1 < aPl' et '''Va'’’’ < t P

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

poser rt =:^, «' étant supérieur à i. On a alors

ai —

S. mesure que q augmente, a'ï diminue en restant ^supérieur à I, mais en en approchant autant qu’on veut. 11 en est donc

de même de ai, qui reste seulement inférieur à i.

Si a reçoit un exposant négatif — m, on aura l’expression

Si a est plus grand que i, sera plus petit que i; si a est plus

petit que i.^sera plus grand que i. On retrouvera donc inversement les mêmes résultats que précédemment.

244. Nous pouvons maintenant considérer la fonction exponentielle a’. La fonction considérée a reçu cette qualification, parce que l’inconnue ou ia variable indépendante y est en exposant (11).

Je vais démontrer que a: variant d'une manière continue, la fonction a^ varierà elle-même d’une manière continue.

Je supposerai jJ’abord a)> i.

Donnons à un accroissement h aussi petit qu’on voudra. La fonction deviendra et prendra un accroissement représenté par la différence

Quel que soit h, a ’' — i est positif, puisque a étant plus grand que 1 , il en est de même de a* (243). Par conséquent, la fonction croît en même temps que ar, comme nous l’avons déjà indiqué. (nJL • jCUtl-'

Je dis maintenant qu’on petit donner à h une valeur

qu’on ait a * — i cT — , a ét®t tout ce que l’on voudra supposer t

de plus petit. A est une quantité de la forme q étant aussi grand que possible. Donc (243), a* pourra différer de i d’une

quantité moindre que ^ si l’on donne à q une valeur convenable. On aura alors

ou a

a’CiaL.

Ainsi, l’accroissement de la variable tendant vers zéro, il en

Al.r,F.DI\E ÉLÉMEJVTAIRE. 4 *”

sera de même de raccroissemeiU de la fonciio»; ce t|ui prouve sa continuité. En d’autres termes, la fonction passe d’une valeur à une autre en parcourant tous les degrçs intermédiaires; sans quoi, pour une variation insensible ou infiniment petite de la variable, elle éprouverait une variation brusque, ou finie.

Si l’on suppose «<] i, on posera «=^5 a’ étant supérieur

à I. On en déduira a’’ variant d’une manière continue

avec X, il en sera de même de -7- ou de

2-45. Supposons n i et faisons croître, dans l’expressioii X d’une manière continue depuis — x jusqu’à - 4 - x .

Pour

on a

Pour

on a

rt* = a" == I .

Pour

on a

La fonction croit d’ailleurs d’une manière continue (2Wr). Par conséquent, x parcourant toute l’échelle des grandeurs réelles depuis — X jusqu’à -i- 00 , a* parcourt toute l’écbelle des grandeurs positives depuis o jusqu’à -l-x . Les valeurs négatives de X correspondent aux valeurs de a* <[ i et les valeurs positives de X aux valeurs de a*> 1 .

Si l’on suppose a 1 ou a = ^î a' étant plus grand que i,

on a a*= -r'

Pour