T — GO
on a
• Pour
on a
Pour
on a
te =
La fonction décroit d’ailleurs d’une manière continue (244). Par conséquent, x parcourant toute l’échelle des grandeurs réelles depuis — x jusqu’à -(-x , a-* parcourt toute réclielle des grandeurs positives depuis -t-x jusqu’à o. Les valeurs négatives de X correspondent aux valeurs de a*> i et les valeurs positives de xaux valeurs de a*<;( i.
246. Les notions données en Arithmétique (199) sont applicables aux exposants incommensurables. Si x est incom-
mensurable, a' tombera entre deux puissances fractionnaires a’ I. • 27
4l8 ^ . ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIRE.
t‘l « ’ , (le sorte que a: lui-iuème lomber.i entre- et -•
fJ
A mesure que ^ et P ■■ se rapprocheront en comprenant toujours X, on obtiendra deux séries de puissances fractionnaires correspondantes, et la limite commune de ces deux séries sera «*.
Définition et propriétés des logarithmes.
2-W. Si l’on a l’exprossiou a^ = b, x est appelé le logarithme de h. Le logarithme d’un nombre b est donc l’exposant qu’il faut donner à un nombre a, pour reproduire b. Le nombre a, supposé constant, s’appelle la base du système.
Il y a une infinité de systèmes de logarithmes : on les distingue entre eux par leurs bases. Dans tout système, la base a pour logarithme l'unité.
Nous venons de voir (2W) que x pa.ssant par tous les degrés de grandeur possibles, parcourt toute l’échelle des grandeurs positives. Tous les nombres positifs ont donc des logarithmes, les nombres négatifs n'en ont pas.
Si a est ^ i, les nombres i ont des logarithmes positifs, et les nombres i des logarithmes négatifs. Si a est i , les nombres f> i ont des logarithmes négatifs, et les nombres • des logarithmes positifs.
Si l’on a a‘ = b, on indique que x est le logarithme de b en écrivant ar = logé.
Ou voit (lu’on a (2^5) dans tous les sy stèmes :
I lOg O = CO
Si a est > i ■. log i =o logco = ûc.
logo =c -t-oc
Si a est <[ i - log i = o
Ze logarithme de l’unité est toujoun égal à zéro.
248. Voyons quelles sont les propriétés des logarithmes. La propriété fondamentale est la suivante :
i“. Le logarithme du produit de plusieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes de tous les facteurs.
Supposons qu’on ait
a’ = b, X = log b,
a^' - b', c’esl-ii-dire x' log //,
a’‘=zb", x" = log//'.
AU:kbHt kl.ÉMK.NTAlKF.. 4 >9
Si l'on mulliplin les premières éf^alilés inembfc à membre, il vient
(t‘.(e . rt*' = h b' h" on = bb' b".
On en déduit
x-^r x'-\-x" —Xo^bb'b" ou log 6 è'è" = log 6 -f- logè'-f- log è".
2V9. 2 ®. Le.lognrithme tV un quotient est é"al à lu différence des logarithmes du dividende et du diviseur.
Soient
a‘=b, e’est-à-dire x = \o^b, af' = h\ •> Æ-' = log6'.
Si l’on divise membre à membre les deux premières éga-
lilés, il vient
rt* b
— ou
c’est-à-dire
= ou
Iog^^ = logé — log//
250. 3®. Le logarithme d’une puissance est égal au logarithme du nombre élevé à la puissance, multiplié par l’exposant de la puissance,
Soit
a' = b ou X =z log h.
Elevons les deux membres de la première égalité à la m'* puissance. Nous aurons
[a^)"'z=lr ou a‘'"z=lr,
c’est-à-dire
x/« = logè" ou log 6 " = OT log è.
251. 4 “- logarithme d’un radical est égal au logarithme de la quantité placée sous le radical, divisé par l’indice du radical.
Soit
(p=h ou x = log'è.
Extrayons la racine m''"' des deux membres de la première égalité. On aura
c’est-à-dire
X , "*/7‘ I "vT ^ug b
— =\OBdb, ou log v'o =
252. Comme nous l’avons indiqué en Arithmétique, il j a six opérations fondamentales sur les nombres ; troisdirectes,
4‘iO ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
trois indireclris. Dans l'ordre de leur dilliciillé, les trois opérations directes sont : l’addition, la multiplication, l’élévation aux puissances; les trois opérations indirectes sont: la soustraction, la division, l’extraction des racines. L’addition et la soustraction sont des opérations très-simples; la multiplication et la division sont plus compliquées; l’élévation aux puissances et l’extraction des racines sont extrêmement longues et pénibles, pour peu que l’exposant on l’indicé s’élève. On conçoit qu’à l’aide des logarithmes, on pourra ramener la multiplication et la division à l’addition et à la soustraction; l'élévation aux puissances et l’extraction des racines, à une multijilication et à une division généralement très-simples. Il suffira, pour cela, de construire une table qui, en face des nombres, donne leurs logarithmes. Je veux extraire la racine d’un nombre, je cherche son logarithme dans la table, je le divise par l’indice du radical : j’obtiens ainsi le logarithme de la racine. En face de ce logarithme, la table m’indiquera la racine cherchée. On comprend par là tout^ l’utilité des logarithmes.
253. On peut prouver que, lorsque des nombres sont en progression par quotient, leurs logarithmes sont en progression par différence.
Si l’on a la progression par quotient quelconque
H a: aq: aq^ : aq^ ; ... ; aq",
les logarithmes des nombres qui la composent seront
loga, log«-l-logg, log fl -)- 2 log çr, ..., loga-+-nlogçf,
c’est-à-dire formeront une progression arithmétique dont la raison sera, log q.
Cette remarque est prise souvent pour point de départ de la théorie des logarithmes : nous ne nous y arrêterons pas {voir la Note 111 à la fin du volume).
Passage d'un système de logarithmes à un autre. — Module. — Logarithmes népériens.
2oV. Soient deux systèmes de logarithmes définis par les bases a et A. Soient .rie logarithme du nombre b dans le premier système, et X son logarithme dans le second système. On . aura
a‘=b et A* = è,
d’où
Prenons les logarithmes des deus membres de cette dernière égalité dans le système dont la base est a, et rappelons-nous
\LGLBHE ÉLÊMEMTAinE.
qu’oii a aloi-s log«= i. Il viendra (*]
X = X log. A , d’oii X =
log«A
Par siiiie, pour passer de la table de logarithmes du premier système à la table de logarithmes du second système, il suffira de multiplier successivement tous les logarithmes du premier
système parle facteur constant log.Aétantlelogarithme
de la seconde base dans le premier système. O facteur constant a reçu le nom de module du premier système par rapport an second.
Si l’on avait pris les logariibmes des deux membres de l’égalité af = dans le système dont la base est A, on aurait eu
X= xlogArt.
Le module du preinier système par rapport au second est donc ■encore égal à logA«, qui est le logarithme de la première base clans le second système.
Il est bien évident qu’on a
= logArt,
log.
c’est-à-dire
logxa.log.A = I.
On peut d’ailleurs vérifier cette égalité comme il suit. Posons log„A=/> et \ogxa = q.
al' z= A et Al = a.
Nous aurons
Si l’on remplace, dans la première égalité, a par sa valeur Ai, il vient •
Api = A,
ce qui entraîne la condition pq — i,
255. iSéper, inventeur des logarithmes (i6i4), prit pour base du système particulier qu’il considéra le nombre incommensurable 2,7182818... qu’on désigne en mathématiques par la lettre e. Ce système s’appelle système des logarithmes népériens ou hyperboliques. On les distingue des logarithmes vulgaires, en les indiquant par la seule lettre initiale /.
On appelle d’une manière générale module d’un système quelconque de logarithmes, le facteur constant par lequel il faut multiplier les logarithmes népériens pour passer au sys-
(*) Nous par un lujaritbnic pris dans le système doni la baM^
'*sl rt.
ALGÈBRE ÉLÉME^TAlllE.
lème duliiié. Kn appelant a la base du système considéré, cl M son module, on aura, d’après ce qui précède ( 2 o 4 ),
Ainsi, le module d’un système de logarithmes est l’inverse du logarithme népérien de sa base ou le logarithme de la base népérienne dans le système considéré. Lorsqu’on considère le système vulgaire, celui dont la base est lo, on a
M = log e = 0,434294482- • • •
Pour passer du système vulgaire au système népérien, il faudra, au contraire, multiplier les logarithmes du système vulgaire c’est-à-dire par 2,30259.
Des logarithmes vulgaires.
250 . Les logarithmes vulgaires, c’est-à-dire ayant pour base fo, sont en complète harmonie avec notre système de numération ; il en résulte plusieurs simplifications très-importantes au point de vue du calcul,
Les logarithmes sont exprimés en décimales et se composent par conséquent d’une partie entière et d’une partie décimale. La partie entière porte le nom de caractéristique ; on donne souvent à la partie décimale le nom de mantisse.
Dans tout système, les puissances successives de la base ont
pour logarithmes les nombres entiers i, 2, 3 , 4 Dans le
système vulgaire, les logarithmes des puissances de 10 qui reviennent constamment dans les applications se trouveront donc immédiatement connus.
De plus, on pourra à la seule inspection d’un nombre indiquer la caractéristique de son logarithme.
Le logarithme d’un nombre qui tombe entre i et 10 ou qui a un chiffre à sa partie entière, tombe entre o et i ( 2 i 7 ); la caractéristique de ce logarithme est donc o.
Le logarithme d’un nombre qui tombe entre 10 et 100 ou qui a deux chiffres à sa partie entière, tombe entre i et 2; la caractéristique de ce logarithme est donc 1 .
Le logarithme d’un nombre qui tombe entre 100 cl 1000 ou qui a trois chiffres à sa partie entière, tombe entre 2 et 3 ; la caractéristique de ce logarithme est donc 2. . ..
Le logarithme d’un nombre qui tombe entre 10"-’ cl 10" ou qui a n chiffres à sa partie entière, tombe entre « — j et «; la . caractcristiiiuc de ce logarithme est donc n — i .
Ainsi, d'une manière générale, la raractéristique du lo^a-
ALGÈBRE ÉLÉMEINTAIRE. 4^3
rilhnie d'un nombre plus ^rand que i renferme aiitanl d'unités qu’il J- a de chiffres moins i dtms la partie entière de ce nombre.
Si l’on multiplie ou si l’on divise un nombre par une puissance quelconque de lo, il suffit d’ au^ienter ou de diminue r lu caractéristique de son logarithme de l’exposant de cette puissance de lo.
Ona(2i8, 2W)
log(aX io") = logfl-f- logio" = loga + n.
On voit par là que la mantisse du logarithme d’un nombre reste la même, quelle que soit la place qu’on fasse occuper dans ce nombre à la virgule qui sépare la partie entière de la partie décimale ; le changement porte seulement sur la caractéristique.
On aura, par exemple,
log 356 4 = 3,55ig37'j, r log 356,4 = 2,55ig377,
. log 35,64 = 1 ,55ig377, log 3,564 = o,55ig377, log 0,3564 = 0 , 55ig377 — '< log O, o3564 = 0,55 ig377 — •■>..
Dans le eas où le logarillnne esl négatif, il est beaucoup plus commode de conserver la partie décimale positive et de ne faire porter la soustraction que sur la caractéristique. On indique qu’il en est ainsi en surmontant la caractéristique du signe —, et l’on écrit
log 0,3564 = 1 ,55ig377,
, logo ,o3564 = 2,55ig377, «
Les nombres plus petits que i, e’est-à-rlire sans partie entière, ont alors des logarithmes à caractéristiques négatives: la mantisse continue d’être positive. On voit (pie la caractéristique négative contient nécessairement autant d'unités qu’il y a de zéros avant le premier chiffre décimal significatif.'
Usage des tables de logarithmes.
257. I.es tables de logarithmes les ])lus usitées sont les petites tables de Oe Lalande à cinq décimales et les grandes tables de l'allet à sept décimales.
j = logrt — log io“ = loga — H.
•'»T ■» TTW-vy
424 ALGÈBRE ÉLÉMERTAIRE.
Les uibles (le De Liüamle conlieniicnt les logarithmes des nonibnîs entiers depuis i jusqu’à 10000, exprimés avec ciiu| dérimalcs. Chaque page est divisée en trois colonnes verticales : la première contient les nombres, la seconde leurs logarithmes, la troisième les différences qui existent entre deux logarithmes consécutifs, exprimées en unités du cinquième ordre décimal.
Les tables de (^llet renferment les logaritbipes des nombres entiers depuis i jusqu’à 108000. Les logarithmes des 1200 i>remiers nombres sont exprimés avec huit décimales : en face de chaque nombre se trouve son logarithme. Les logarithmes sont donnés sans caractéristique : on la connaît à la seule inspection du nombre. Après celte première partie, la table donne les logarithmes des nombres depuis 1020 jusqu’à 108000. Jusqu’à 100000, les logarithmes sont exprimés avec sept décimales; à partir de 100000, avec huit décimales. Dans la colonne verticale intitulée N, on trouve les dizaines des nombres considérés. Celte colonne est suivie d’autres colonnes verticales «intitulées O, 1, 2, 3 , 4. 5 , 6, 7, 8, y, (|ui correspondent aux unités du nombre donné. Si l’on veut, par ex(?mple, le logarithme du nombre 31756, on cherchera 3176 dans la colonne intitulée N. On trouvera dans la colonne o les trtds premiers chiffres de la mantisse qui sont 5 oi et qui, appartenant à plusieurs logarithmes successifs, ne sont pas répétés en face de tous ces logarithmes. On suivra, en face de 3175, juseju’à la colonne qui correspond au chiffre 6, et l’on aura les quatre derniers chiffres décimaux 8268 du logarithme. La caractéristique est d'ailleurs 4> puisque 31766 contient cinq chiffres entiers. On aura ainsi log 3 i 756 = 4j5oi 8258. Une dernière colonne contient les différences qui existent entre deux logarithmes consécutifs, et <|ui ne changent pas pendant un intervalle plus ou moins long. Au-dessous de chaque différence, se trouve une table de parties proportionnelles indiquant les produits de cette différence par 0,1, 0,2, o, 3 , ... , jusqu’à o,g.
Les deux questions à résoudre au moyen des tables sont celles-ci :
i“. Etant donné un nombre, trouver son logarithme;
2®. Étant donné un logarithme, trouver le nombre correspondant.
