Trotwer le logarithme d'an nombre quelconque
Si le nombre est un nombre de la table, il n’y a aucune diflicullé. Supposons donc un nombre qui ne soit pas dans la table, comme 356789.
Si l'on opère avec les petites tables, un fuit toujours en sorte que lu partie entière du nombre considéré ait 4 chiffres. Si
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 4^5
l on opère avec les tables de Callet, cette partie entière doit contenir cinq chiffres.
Dans le premier cas, nous remplacerons donc le nombre donné par le nombre 3567 ,89. Nous avons seulemenl changé la place de la virgule, la partie décimale du logarithme restera donc la même. Les tables donnent
log3567 = 3,5523 o.
La colonne des différences prouve que si, en cet endroit, deux nombres diffèrent d’une unité simple, leurs logarithmes différeront de 12 unités du cinquième ordre décimal. L’examen des tables montre que, dans des limites- peu éloignées, on. peut admettre la proportionnalité des accroissements des nombres et des accroissements des logarithmes. En appelant x la quantité a ajouter au logarithme de 3567 pour passer a celui de 3567,8g, on aura donc
d’où
Ainsi, pour avoir x, il faudra toujours multiplier la différence tabulaire par l’accroissement du nombre. Rappelons-nous que le multiplicande 12 représente des cent-millièmes^ e\, nous trouverons JT = 0,0001 1 par excès. Par Suite, on aura à moins d’une unité du dernier ordre
log 3567 , 8 g = 3,55241.
On indique généralement le calcul comme il suit :
• log3567 = 3 ,55a3o
pour 0,89 II
log35G7 ,89 = 3,55241 log 356789 = 5,55241
Si l'on (ail usage des tables de Callet, on cherchera le logarithme de 35678,9. On trouvera
log 35678 = 4 ,5524005.
1^ did'érence tabulaire est 122, et la table des parties proportionnelles donne immédiatement 122X0,9 = 110. On écrira donc
log 35678 = 4 , 5524005
pouro.g 110
log 35678, 9 = 4,55241 15 ■ log -.356789 = 5,552,4 1 15
Si l’on veut trouver le logarithme du nombre 567892418, 011
4a6 ALGÈBRE ÉLÉMEHTAIRK.
cherchera, avec les petites tables, celui de 5678. 9241^- On aura
log 5678 = 3,75420. '
La différence tabulaire étant 7, il faut multiplier 7 par 0,924*8 : on bblienl 6,46926; raugmentation du logarithme est 0,00006. Si l’on avait multii)lié 7 par 0,92, on aurait trouvé 6,44- If inutile avec les petites tables détenir compte de plus de deux chiffres décimaux, souvent un seul suffit : les autres chiffres décimaux nont aucune influence sur les derniers chiffres du logarithme eu égard ù l’ordre d’approximation adopté. Nous aurops
log 5678= 3,75420 pour 0,9 6 . . - . '
Ipg 5678, 92418 = 3, 75426 '
log 567892418 = 8,75426 - ,
Si l’on emploie les tables de Callet, il «faudra chercher le logarithme du nombre 56789,2418. On trouvera
log 56789 = 4 57542642.
La différence tabulaire est 77, et la table des parties proportionnelles donne immédiatement
Le calcul direct donnerait 18,6186. L’augmentation du logarithme est 0,0000018. Si l’on avait multiplié 77 par 0,241, table aurait donné 18,18 et le calcul direct 18,557. If inutile avec les tables de Callet de tenir compte de plus.de trois chiffres décimaux, les~ différences tabulaires n atteignant pas plus de trois chiffres, et le plus souvent deux suffisent ; les autres chiffres décimaux n’ont aucune influence sur les derniers chiffres du logarithme eu égard à l’ordre d’appro.vimation adopté. Nous aurons
log56789 = 4,7542642 ^ .
pouro,2 i5 . .
\ ■■ pouro,o4 3 - ' rk
g' log56789,24i8 = 4 >7542!^°
log 567892418 = 8, 7542660
Si l’on avait à chercher le logarithme de 56,7892.418, on opérerait absolunuMitde la même manière; seulement, la caractéristiiiuc du logarithme serait 1.
Si l’on avait à chercher le logarithme de o,oo5678<)24i8, on suivrait encore la même marche; seulement, la caractéristique
ALGÈBRE ÉLÉMEHTAIRE. 4^7
du logarithme serait une caraclérisque négative et deviendrait égale à 3 -
259 . Etant donné un logarithme quelconque, trouver le nombre correspondant .
Si le logarithme tombe exactement dans la table, on trouve en face le nombre cherché. Sinon, on opère comme il suit:
Soit logj; = 2, 71456.
Si l’on se sert des petites tables, on cherche le logarithme qui approche le plus par défaut du logarithme donné, en opérant dans la partie de la table oà les nombres ont quatie chiffres. On trouve ainsi
log5i82= 3,71450.
La différence tabulaire est 8. Si l’on admet comme précédemment la proportionnalité des accroissements très-petits des nombres et des accroissements correspondants de leurs logarithmes, il faudra chercher quel doit être l’accroissement du nombre pour un accroissement du logarithme égal à 6, différence de logx et de logSiSa. En appelant >-cet accroissement
inconnu, on aura.
fl’oii ■ -
Pour avoir y, il faudra donc toujours diviser la différence des logarithmes considérés par la différence tabulaire. On trouve
!og 5 i 8 ?., 75 = 3,71456 et ^^ = 518,275.
On ne doit pas compter, dans la division qui donne y, surplus d’une ou deux décimales, suivant le nombre dcchiffres de la différence tabulaire, puisqu’en repassant du nombre au logarithme, on devrait négliger les autres décimales ( 258 ). On prendra donc
JT = 518,27.
Si l’on opère avec les tables de Gallet, et si l’un a logx= 2,7145632,
on trouvera, en cherchant dans la partie de la table où les nombres ont cinq chiffres, et cti' prenant le logarithme qui ' approche le plus de loga: y>a\' défaut,
log 5 i 8'>7 = 4 j 7 145561 .
ALukBRE ÉLÉMENTAIHE.
La différence des deux logariilinies est 71 unités du septième ordre. La différence tabulaire est 84, et la table des parties proportionnelles montre que l’accroissement du logarithme étant 67, l’accroissement du nombre est 0,8. Il reste à tenir compte d’une augmentation de 71 — 67 ou de 4 unités du dernier ordre. La table montre que l’accroissement du logarithme étant 42, celui du nombre est o,5; par suite, l’accroissement du logarithme étant 4. celui du nombre sera très-approximativement o,o5. On aura donc
log5i827 ,85 = 4,7 i 45832 et ar=5i8,2785.
On ne doit pas tenir compte, à l’aide de la table des pat'-' lies proportionnelles, de plus de deux ou trois chiffrés décimaux (258). Ou indiquera le calcul comme il suit :
log a: = 2,7145632
log5i827 = 4 >7 '4556i ■ '
pour 0,8 . pour ü,o 5
La marche à suivi e sera toujours la même. Si l’on a loga: = o, 7145632,
on en déduira Si l’on a on en déduira
log X = 3,7145632, X = 0,005182785.
La seule difliculié, après avoir trouvé les chiffres significatifs du nombre proposé, chiffres qui ne dépendent que de la mantisse du logarithme, sera de placer convenablement la virgule dans le nombre obtenu, de manière à reproduire la caractéristique indiquée.
260. En examinant la table, on voit les différences tabulaires aller constamment en diminuant. En effet, soient N et N -1- I deux nombres entiers consécutifs. On aura
log (.N -4- 1) — logN = log = log ^i •
A mesure qui' N augmente, diminue; l’expre.ssion ' + ^
ALGÈBRE ÉLÉME^TAI«F,, 429’
Si l’oa donne un accroissement S au nombre N, puis un accroissement ^ 5 , on aur.i
lo{;(N + iî) — logN = log = log ^ 1 -t-
lôg(N + 2<î) — logN = log^!^-^~ = log 4-^^
Les accroissements des nombres considérés N -f- J et IN -f- aJ prcscnleni ici le rapport 2; la proportion admise précédemment ( 258 , 259 ) exigerait qu’on eût alors
ce qui est impossible. Mais, si l’on opère dans la partie la plus
élevée des tables, le terme ^ du second membre, qui em-
pèche l’égalité posée d’être vraie, n’aura aucune influence sur les décimales conservées ; et la proportion sera exacte pourvu qu’on ne dépasse pas la cinquième ou la septième décimale.
Calcals par logarithmes.
261 . Remarque sur les logarithmes à caractéristiques négatives. On aura à ajouter avec d’autres, logarithmes des logarithmes à caractéristiques négatives. Il faudra alors, en additionnant la colonne des caractéristiques, faire une opération analogue à celle que nous avons indiquée relativement aux coefficients des termes semblables des polynômes ( 9 ).
Passons aux logarithmes soustractifs. Soit à retrancher de a le logarithme 3,57821. On aura évidemment
La partie entre parenthèses n’est autre chose que le complément à 1 de la partie décimale du logarithme [Àrith., 30 ). On formera ce complément en retranchant de 9 tous les chiffres significatifs de cette partie décimale, sauf le dernier qu’on retranchera de 10. On aura alors à ajouter un logarithme dont la partie décimale sera devenue positive et dont la caractéristique sera négative. Ainsi
Soit à retrancher de a le logarithme 5,17098. On aura évidemment
43<) * ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIRE.
d’où ■
On a alors à ajouter un logarithme tout entier positif.
Aux logarithmes ainsi-transformés, nous donnerons le nom de logarithmes préparés, ét nous les indiquerons par la lettre initiale L, surmontée du signe — .
Pour préparer un logarithme, e’est-à-dire pour ramener sa soustraction à une addition dans laquelle la soustraction, si elle existe, ne portera que sur la caractéristique, il faut nu^nienter sa caractéristique prise avec son signe d’une^ unité, changer le signe du résultat obtenu, et écrire à la suite le complément de la partie décimale donnée.
Dans le premier exemple, nous avons augmenté la caractéristique 3 d’une unité, et nous avons pris négativement lé résultat 4 obtenu.
Dans le second exemple, nous avons augmenté la caractéristique 5 d’une unité, et nous avons pris positivement le résultat 4 obtenu.
Il vaut bien mieux opérer comme on vient de l’indiquer, que de prendre le complément à lo; et cette simplification est essentielle dès qu'on a à considérer plus de deux logarithmes.
Si l’on a à multiplier par un nombre entier un logarithme à caractéristique négative (250), il faut seulement, en multipliant la caractéristique négative, tenir compte des retenues positives fournies par le chiffre des plus hautes unités de la mantisse;
on aura
Si l’on a à diviser par un nombre entier un logarithme à caractéristique négative (231), il faut nécessairement ajouter à la caractéristique autant d’unités qu'il est nécessaire pour qu’elle devienne un multiple du diviseur. Par compensation, on ajoutera au chiffre des dixièmes de la mantisse autant de dizaines positives qu’on aura ajouté d’unités négatives à la caractéristique. Si l’on a, par exemple, le logarithme 2,91025 à diviser par 5, on regardera la caractéristique comme égale à 5, et son quotient par 5 sera 1. Puis, au lieu de diviser 9 dixièmes par 5, on divisera 89 dixièmes par 5, de sorte que ie chiffre des dixièmes du quotient sera 7, etc. On trouvera
262. Lorsqu’on a à calculer une formule par logarithmes, il faut faire en sorte de ne passer aux nombres que le moins de fois possible.
AhukBRE ÉLÉMEATAIRK. 4^1
Une l'ormule n’esi dirocleinenl calculable |nu' logarithmes que lorsqu'elle ne coiUienl aucun signe + ou — .
Une formule telle que \/a’ — 6’ n’est pas "directement calculable par logarithmes, parce que, pour appliquer les logarithmes, il faut commencer par calculer les carrés a? et t’. Si on les calcule par logarithmes, on remontera donc trois fois aux nombres au lieu d’une seule : une fois pour à‘, une fois pour 6’, une dernière fois pour calculer sja'‘ — b'. Dans un cas aussi simple, on lève immédiatement la difficulté en remplaçant a‘ — 6’ par le produit [a-\-b] (a — b). Mais il faut calculer séparément a-hb et a — b. Oublier les simplifications analogues à celle que nous venons de rappeler, ce serait commettre une faute de calcul grossière. Il faut donc toujours chercher à rendre, par des artifices convenables, la formule proposée directement calculable par logarithmes.
Soit demandé, par exemple, le volume d’un tronc du cône. La Géométrie donnera immédiatement la formule (roiVla Géométrie) ,
V = ^ (R>+r’-t-Rr).
Ajoutons et retranchons dans la parenthèse le produit R;. Il viendra
V=^(R’-»-2Rr-HH — Rr),
c’est-à-dire
V = ^*[(R4-r)’— Rr].
Posons Rr = de manière à introduire la différence de deux carrés; nous aurons
V = ^ [( R + r)’ - «’] = îii [( R ,--h « ) ( R -h /■— «)].
On calculera préalablement a à l’aide de l’égalité (û=z Rc qui, traitée par logarithmes, donne
?.log«= logR-i- loge,
d’oii
puis, on appliquera la formule. On remontera ainsi aux nombres deux fois; mais il aurait fallu y passer quatre fois sans la marche suivie : une fois pour R’, une fois pour r”, une fois pour Rr, une fois pour V.
On trouvera en Trigonométrie un grand nombre d’exemples de ces sortes de transformations.
4^2 iVLGÊBIlE ÉLÉMENTAIRE.
2 G 3 . I". Soit ù calcaler l'expression
Nous aurons, en employant les tables de De Lalande, ,
\o^x = log 2 + log 32,9797 + log 1 1 ,o2o3 -4-T . 3 .
Voici le type du calcul :
log 2 = o, 3 oio 3 log 32 , 9797 = 1 ,51824 log I I ,0203 = I ,04219
log a; = 2 ,38434 . ' '
2". Calculons le rayon de la sphère dont la surface «f i''n. La Géométrie donne, en appelant R le rayon cherché [voir la Géométrie)
■ Mq
,Mq 4„]{l^ ,1'ofl |{J — et H —
On aura doue
log R = log I + 1.2 -f- L y/jr-
Il faudra donc chercher le logarithme de \Jir qu’on trouve immédiatement à la (in de la tahle, et le préparer. Si ce logarithme n’était pas directement dans la table, on y trouverait celui de n, on le diviserait par 2, et l’on préparerait ensuite le logarithme obtenu. Le logarithme de 1 étant toujours o, le calcul se réduit à ce qui suit : ,
.. ) • . logR=i, 45 o 4 o
3 ". Soit à calculer l’expression . ' '
(o,oo 5 i)’. ^0,0072
On aura
logx = 2 log 0, 082 -t- 41 ogo,o 48 -t- Lo,oo 5 i’ -t- L.v'ü,oo 72 on, ce qui revient au même, logx = jlog 0,082 -f- 41 ogo,o 48 -t- 3 Lo,oo 5 i 1.0,0072.
AIGKBRE ^LltviF.NTAinE. 4'^'^
Il faudra donc chercher le logarithme deo,oo5i, le tripler et préparer le résultat obtenu ; do même, on cherc hera le logarithme de 0,007a, on en prendra la moitié, et l'on préparera le résultat obtenu. On aura
- Iogo,o8a= I ,b 37;)4
4 logo ,048 =: 6 ,7a4ç)6 Lo,oo 5 i’ = (>,87729 L.V'’o,oo 73 = I ,07134' logÆ^ = a ,3 I ir >3 X =: ao 4 ,89.
log 0 , 08a = a ,9 1 38 1 ,
logo, 048 =2,68124, logo,oo 5 i = 3,70767, logo, 0072 = 3 ,. 85733 .
CIIAI’ITUE in.
At'l’t.lC.ATIONS DKS t-OCARU HAIES
Équations exponentielles.
264. On appelle é(|ualion exponentielle, une équation dans laquelle l’inconnue se trouA'e eu exposant. La plus simi»le des équations exponentielles est
a et i sont deux quantités positives données. En prenant les logâritbmes des deux membres, il vient
.r logrt = logé,
d’où
logé
logrt
Résoudre celte équation, c’est, en réalité, cbercher le logarithme du nombre h dans le système qui a pour base le nombre a, à l’aide de la table des logarithmes vtilgaires.
Si l’on a l’équation
a, h, c, étant des quantités positives données, on en conclura d’abord
M log « = loge, puis,
loge , log loge— log loga
X log h = log r-— et x = - " - ^ — r
loge logé
434 AI.GkuRF. ÉI.ÉMF^TAIIIE.
2Ü5. 1 °. Soit à résoudre le syistèmt'
'; ri.
• ‘.tîltl
jr-f-.r=rt, ’
log^r + log)-— A.
La seconde é(|iialion peut se mettre sous la forme . >,.*
loga:j=:A, d’où xy= lo*, .
la base du système vulgaire étant lo. La question est ainsi ramenée à trouver deux nombres, connaissant leur somme et leur produit (190).
Soit encore à résoudre l’équation ■ ' .
l’osons i(i^= r; il en résultera ’ . \ *
~ iG* r V V.:..-
’équation donnée deviendra donc
iG
r-H — = lo.
d’où
On en déduit
ior-i-i6 = o. '
l’ar suite, l’équation i6* = >’ donnant x\oç, iG — logr,
on aura - <
> / log/ log8 , 3 •'
log i6 log i6 ” 4' .
logiG logiG ’ 4
Ces valeurs vérifient bien l’équation. On a, en effet,
Questions d'intérêt composé.
266. Généralement, les intérêts d’un capital prêté constituent une rente payable tous les ans [Àrillun.) \ mais on peut aussi laisser les intérêts annuels s’ajouter au capital dû pour porter à leur tour intérêt. On capitalise alors les intérêts, on prête à intérêts composés.
Nous appellerons taux, dans les questions d’intérêt composé.
ALOtURE ÉLÉMEKTAIllK. 43 :)
l’iiUérèl rapport('“-pnr i franc placé pendant un an, et nous dcsi- {’iierons cet intérêt par r. Si le capital est prêté à 5 pour loo, /■ est égal à o,o 5 .
Le capital i franc, placé à intérêts composés, vaut à la lin de la première année, i 4- r. Le capital G vaudra donc, à la fin de la même année, G (i 4- r). Il y a en effet proportionnalité entre les capitaux et les intérêts, et, par suite, entre les capitaux et ces mêmes capitaux augmentés de leurs intérêts.
Pour savoir ce que devient un capital au bout d’une année, il suffit donc de le multiiilier par le facteur constant i 4- r.
Le capital G(i 4-c) deviendra, jiar suite, au bout de la seconde année, G (i 4- ;•) (i 4- r) = G (i 4- De même, au bout d’une troisième année, le capital G (i 4- / )’ deviendra (] (i 4 - /')’ (i 4 - /■] = G (i 4 - l'Y- ■ ■ .
En général, au bout de n années, le capital G jilacé à intérêts composés, deviendra G (i4-/')“ et, en appelant \ le capital produit, on aura la formule fondamentale
Si l’on prend les logarithmes des deux membres, il vient log A = log G4-« log (i 4- »•).
Gette formule logarithmique renferme les quatre quantités A, G, n et r; elle permettra donc de trouver l’une quelconque de. ces quatre quantités quand on connaîtra les trois autres, ce qui correspondra à quatre problèmes particuliers.
267 . I®. Cherchons ce que devient un capital de- üoooo fr., placé pendant 4 o ans à intérêts composés, le taux de Vintérêl étant fixé à 4,5 pour ion.
On aura
et la formule donnera
log^= log 5 oooo -t- 4 o lo? ' ,045.
log 5 oooo = 4 ,6989700 4 o log 1 ,045 = 0,7646516
logx = 5,4636216 X = 2908 1 8
268 . 2". Pendant combien d’années faut-il placer un capital à intérêts composés, pour qu’il acquière une valeur double?
On a ici
, Digilized by Coogle
Al.r.KlinK ÈLÉMF.NTAII'.E.
et la formule A = C (i -t- ;•)" devient O, = (l -f- /■)",
il’ov'i
log. = «log(,4-0 et
Celte valeur de, h sera généralement /rac7fonna/re. A ce sujet, il faut remarquer que la formule des intérêts composés ayant été établie en considérant un nombre entier d’années, le calcul doit se faire de la manière suivante, quand « est fractionnaire.
Si est le capital considéré et p le plus grand nombre entier contenu dans n, on calculera d’abord
Puis, par la forniule des intérêts simples (118), on calculera l’inlérêl I rapporté par C', placé pendant la fraction d’année « — p. Le capital cherché sera exactement C' 1.
Désignons par j le nombre de jours contenu dans n — p.On aura
1 = - OU I = Tj-p ,
obooo Joo
puisque / = loor. Par conséquent, le capital cherché A sera égal à
■ ' 3oo
c’est-à-dire que, dans le cas de n fractionnaire, on aura la formule
