I -1- x = (i -+-r)* et (i -t- x/ = (i -t- r
Mais (i -4- x';C représente ee qne der||^nt i franc au bout de y d’annee. l'iie
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 4^7 '
formules présenleroni des différences en général négligeables (*).
Revenons à la question proposée. On a, en employant la formule rationnelle,
logi ,o 5 ’
si l’on suppose le capital placé à 5 pour loo. Il en résulte
. o, 3 oio 3 ,
n = = 14,207 environ,
ce qui revient à i 4 ans 75 jours.
En employant la formule
. .\=C(i-^r)rfi-4-^), et en y faisant A ■= 2 G, ;• = o,o 5 , p = i 4 , il vient
e’est à-dire
d'où
log 2 z= i 4 log I ,o 5 - 4 - log( i-i- 1 »
lOg ( 1-1 = log2 — l4 log 1 ,o 5 = 0,00437.
somm^ C au bout du même temps deviendra donc C(i-4-xy* ou
Si i'oo demande quel capital C a produit en n années iiii capital A, on aura
d'où
Sous CO point do vue, n peut donc recevoir aussi des valeurs né^^ativos.
{") nestégal forniule générale peut donc s’écrire
On voit alors que la diflcrencc des deux formules provient de celle des deux fac>
leurs I -4- cl (i -t- Ces deux facteurs ne sont pas éfjaux; car le second,
développé suivant la fonmile du binôme etcodue au cas des exposants fractionnaires, donne d’abord le» deux termes qui composent le premier facteur, plus une série d’autres termes.
Il en résulte
AJ.ci.UnK ÈLÈMKNTAIllE.
tl’oil
y = 73 jours au lieu de 75;
la (lidéreiice est iusigiiiliante. En résumé, on fera bien, dans les ai)i)licalioiis, de sc servir de la formule rationnelle.
209. 3“. On place deux sommes C et E' à intérêts composés, la première au taux r, la seconde nu taux d : on demande dans combien de temps ces deux sommes auront produit le même capital.
Soit X le temps cherché. Le capital A produit par C sera A = C(i-l- /■)"'; le capital A' produit parC' sera A' = C'(H- r')^. A devant être égal à A', on aura '
d’où, en prenant les logarithmes des deux membres.
log C + a: log (i-h r) = logC' -l-a; log |
et
log(i+r) — log(i-hr'
270. 4°. ï-‘i population d’un État est aujourd’hui de N habitants; elle s’uccroit tous les ans de ^ de sa valeur: o?i de-
mande quel chiffre elle atteindra au bout de n années.^
A la lin de la première année, la population sera devenue
N-+-^ouN ^"‘1 question proposée rentre donc dans
les (luestions d’intérêt composé ; le facteur constant 1 + r est
remplacé par le facteur constant i-I-t- La formule cherchée
sera, en désignant par x la population inconnue.
Si l’on considérait deux |)opulations N et N', avant pour accroissements relatifs ^ elv^) et si l’on demandait au bout de
combien d’années elles doivent devenir égalés, l’éciualion du problème serait donc, on désignant par >• le nombre d’années inconnu,
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
log N + X log = lüg N' 4- /■ log — , .«•’esi-à-dire
log N' — log N
-log-^
log -N' — log N
~ log (K -I- 1) + LK +T ( K'-h i) log W
271. 5". Pendant n années, on place chaque année une somme a ; on laisse les intérêts résultant de ces placements successifs s’accumuler aeec les capitaux ; on demande la somme produite au bout des n années.
L.t première somme a, placée aujourd’hui, vaut au bout de n années,
La seconde somme a, placée à la fin de la première année, reste placée pendant « — i années, et vaut par conséquent
fl (i + •
La troisième somme a, placée pendant n — a années, vaut de même
fl (i + /■)“-’
La dernière somme a, placée seulement pendant un an, vaut enfin
En ajoutant tous ces résultats et en désignant par A le capital cherché, il vient
A = fl(i -1- r)" fl (i + /•)'•"' + fl (i + . .
-t-fl(i-4-r)’ -f-a (H-r),
ou, en mettant fl[i -f-r) en facteur commun,
A =fl(i -i- r) [(i -H r)"-' -1- (i -1- r)"-’-4- (i + . .
La parenthèse représente la somme des « premiers termes d'une progression par quotient, dont le premier terme est
+ et dont la raison est - — ^ — ■> ou encore le quotient ' ' 1 + /■
^-.=1(38), c-esi-à-dire
(i + rj — I ' ' r
Par suite.
44 o \li;kBRI2 ÉLÉME.VrAIl.F,.
Celle l'orniule n’est pasdirecleinenl calculable par logai itliines. On cherchera à pari (i -4-; ]".
On aura, en posant ( i -t- /•)"= b,
« log(i +;■) = log/>.
6 scia doncronnu, el la formule deviendra
Si ion place, par exemple, tous les uns sooo panes à intérêts composés et à 5 pour loo, quelle est, au bout de 20 ans, la somme produite^'
On aura d’al)Ord
log/; = 2olug I ,o 5 =0,423^8,
d'oii
b = 2 ,()532 et b — 1 = 1 ,(1532.
La formule sera donc
c'est-à-dire
:4oO. io5. 1 ,(>532,
log A = log4üo -i- log I o5 -+- log 1 ,8532.
Iog4oo = 2. ,80208 log iü5 = 2. ,021 1<) log 1 ,8532. = 0 ,2 1 832
logA = 4,84i57 .
Questions d’annuités et d'amortissement.
272. Une annuité est une somme qu’on paye pendant un nwitibre déterminé d’années, pour éteindre une certaine dette.
Si l’on veut exécuter un travail utile qui exige un capital considérable, on emprunte ce capital pour un temps donné, et l’on convient de le rembourser au bout du temps fixé en teuant compte des intérêts accumulés. On peut alors, au lieu d’effectuer intégralement le remboursement à l’épocjue indiquée, s’acquitter d’avance en payant tous les ans une même somme. Celte somme ou annuité devra être calculée de telle sorte que les deux manières d’opérer le remboursement soient identiques. Les profils du travail exécuté permettent de S(*rvir l’annuité, et la nécessité de la servir est une condition d’ordre et d’économie.
Désignons par A le capital prêté pour n années; au bout des n années, la somme due sera A (i 4- r)“.
Soit maintenante l’annuité nécessaire. La première annuité.
A I.G L B r, E é 1. É M EW f A I tl E .
payée à la fin de la première année, pourrait être placée à intérêts composés par le débiteur pendant n — i années. Elle vaut donc réellement pour le créancier «(i +
La seconde annuité, j)ayée à la lin de la seconde année, restera n — 2 années entre les mains du créancier et vaudra par conséquent a (i -f- . . .
L’avant-dernière annuité ne restera qu’un an entre les mains du créancier et vaudra pour lui «(i -f- r).
Enfin, la dernière annuité, payée à la fin de la année, vaudra seulement a.
La somme de tous ces payements sera donc
« { I -h -f- rt ( 1 -f- -t- rt ( I -f- ;•) -t- a
ou, en mettant a en facteur commun,
rt [( 1 + -t- ( i + /•)”-» -h ... -P ( I -(-/•)-+- I ].
La parenthèse représente, comme nous venons de le rappe-
ler (271), le (luoiieiit.!^ , On devra donc avoir
-, c’est-à-dire
rtj (i -I- /•)" — il . , 1 À =.
d’oii
Cette formule n’est pas directement calculable par logarillnnes, Nous poserons
d’où
IOJ5/>= «log(i -t-cl.
h étant connu, nous aurons
,\ rb
Si rt devenait infini, b deviendrait aussi infini. En divisant d’ahord les deux ternies de l’exiuession fractionnaire qui représente rt, par b, il viendra
rt=.-^,
et en lài.sant 6 = », il restera ,
rt = /■.
Cette valeur représente alors la rente perpétuelle à payer poulie ca]dtal prêté A. l-’État emprunte de celte manière, c’est-
44 ^ ALCÈBEE ÉLÉMENTAinF..
à-diie qu’il s’oblige à servir perpétuellement la rente, sans rembourser jamais le capital.
(Jhetchons l’annuité nécessaire pour éteindre une dette de 9.00000 francs, au bout de 5o ans, nu taux de 5,6o pour loo. On aura
l'ar suite,
log^ = 5ü log I ,o5t) = I , i83i(> et /> = 15,2.47.
On pourra donc écrire
200000. 0, o5ti. i5;247 112.1524,7
log 112 = 2 ,o 4<J22 log 1524,7 = 3, i83i8 • I., 14,247 = 2,84628
log« = 4 ,078(18 a = 1 1986^''.
Ü73. Si w était inconnu, on déduirait de la relation
d’où
Par suite, c’est-à-dire
11 faut, pour que la question soit possible, qu’on aitrt> .\ c; car les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes. Celte condition est d’ailleurs évidente à priori : si l’annuité ne surpasse pas la rente annuelle, il ne reste rien pour amortir le capital.
Si l’on trouve pour n une valeur fractionnaire, cela signifie que le plus grand nombre entier contenu dans n correspond à un nombre insuffisant d’annuités, et que ce nombre entier augmenté de i correspond à, un nombre d’annuités plus que sufli.sant pour couvrir la dette. On pourra donc choisir entre lesdcuv nombres entiers ipii comprennent «, et calculer l’annuité correspondante qui s’écartera peu de celle ilont on pouvait disposer.
(i -t- /■)"(« — Ac) = n,
;(log(i4-/‘) = logrt — log(« — Ac),
logo — log(n— Ar) log(.-hc)
ALCiBllF. ÉLÉMENrAlIlE.
27V. Si rétait inconnu, on déduirait de la forimile
d'où
,\ /•( I 4- r)“ = rt( I + /•)" — a.
On devrait alors calculer r par la méthode des approxi mal ions successives sur laquelle nous reviendrons {voir t. II); c’està-dire que le second terme du second membre étant évidemment très-petit à coté du premier, on le négligerait d’abord ;
puis, on se servirait de la valeur inexacte obtenue r = pour
en trouver une seconde plus approchée en tenant compte du terme négligé, etc.
275. Les questions d’amortissement rentrent dans les questions d’annuités.
L’Etat base ses emprunts sur le système des rentes perpétuelles; mais il conserve la faculté de racheter ces mêmes rentes qu’il vient d’aliéner à tout jamais. Pour arriver à l’e’ctinction ou à la diminution progressive de la dette, on a constitué une caisse d’amortissement dont la dotation primitive a été de 4® millions et produite par la vente d’une partie des forêts de l’État. En outre, cette caisse reçoit une dotation annuelle.
Les fonds de la Caisse d’Amortissement servent à racheter chaque année des rentes qui viennent, par leurs intérêts composés d’année en année, augmenter les ressources de la caisse en lui permettant de racheter de nouvelles rentes. Quand l’État aura racheté toutes les rentes, la dette publique sera éteinte ou amortie.
On appelle taux d’amortissement le rapport du capital affecté à l’amortissement au capital emprunté ou, en d’autres termes, le fonds d’amortissement pour i franc. Si l’emprunt est
de aSo millions, dire que le taux d’amortissement est >
