L.aiil iiilre V' el a"-". Un aura

On ('U tU'iluit

l'I il en résuUcra

(«( + «) P < log NN' <C ( w + « + 2 )

Mais on a il'aulre pari par définition, wfi<logN

«P<logN'<{« + i)p,

(m+ «) (5 <logN +logN' < (;// + /i + 2) p.

I os doux quantités logNN' et logN + logN' sont donc comprises entre les mémos limites. Ces limites diffèrent de 2^ = y i quantité aussi petite qu'on voudra. Par conséquent, on pourra poser logNN' = logN + logN'.

Le iliéoromo énoncé est donc complètement général. On l’étendra facilement au cas d’uh nombre quelconque do facteurs.

Soit maintenant un quotient On aura

. . "=*'/d’oii

loga = logé-l-log7 et log^y = logu - logft.

Donc te logarithme d'un quotient est égal à la dilfêrcnee des lognvithmes du dividende et du diviseur.

Soit une puissance ci". On aura

il'ou

log«"‘ = log a -f log « -t- log «-+-... = m log a.

0(1111' /(•■ logarithme d’une puissance est égal au logarithme du nombre élevé h la puissance, multiplié par l’exposant de cette puissance.

Enfin, soit un radical ’^a. Posons

Nous on déduirons d'iiii

log« = m logx

fl — x’**y

„ - log a et logj: = log\/n = — —

trest-à-diro que le logarithme d’un radical est égal au logarithme du nombre placé sous le radical, divisé par l’indice de ce radical.

Pour qu’un système do logarithmes soit déterminé complètement, il siifiit d'indiquer le nombre qui a un logarithme donné. Si le nombre q a pour lugaritlime le nomhro o, les deux progressions qui définiront le

Digilized by Gu

NOTES

système de logaritlimcs seront :

H . . . q~\ : <y ’ : <i~' ; I ; 7 : <y’ ; r/ ; T ... — 3r. — ir. — /'.O. r .îr. 3r

mr . . .nr ...

Vf quelque manière qu’on introduise alors un nombre dans la progression par quotient, il aura toujours le meme logarithme. Ainsi, supposons qu’on puisse l’introduire en insérant p — i moyens, aussi bien qu’en en insérant I ; je dis qu’il aura, dans les deux cas, le môme logarithme. En effet, si l’on insère p — i moyens, la raison do la nouvelle progression

sera ^q\ et si l’on en instîte ensuite p'—i, la raison do la seconde progression ainsi obtenue sera \^'q ou ^yq. Ce qui montre que, pour insérer pp' — I moyens, on peut commencer par en insérer p — i , puis après, encore p ' — i ; ou bien, en insérer d’abord p ' — i, puis après, p — i (*). Or, que le nombre considéré soit introduit lors do la première opération ou lors do la seconde, il fera ' toujours partie des nombres introduits en insérant directement pp' — i moyens et, par conséquent, son logarithme restera toujours le même.

On indique ordinairement le nombre du système qui a pour logarithme \ unité, et ce nombre est appelé la base du système.

On voit que le logarithme de i est toujours o.

11 est facile de prouver que le rapport des logarithmes de deux nombres N et N' reste constant, tpuiml on passe d’un système à un autre.

Supposons qu’on ait, dans le système dont la base est a,

log„N m log„N'“'n’

— étant un rapport commcnsurable. On en déduira

n log, N = w log^ N' ou log„N“ = log„N"“,

c’est-à-dire

Prenons les logarithmes des deux membres de cette égalité dans le système dont la base est A. Il viendra

d’où ’

Par suite,

«logAN = /nlogAN’,

logAN logAN' n

log,N logAN log„N’ logAN'*

On étendrait facilement la démonstration au cas où le rapport — serait

incommensurable.

De l'égalité précédente, on déduit

l ogA N 1og„N

logA N log„N'

(* ) Le m6mc Ihéorcmc est cvîdemmcnl ap|dicaldo aux progressions nnr dif fcrencc.

»OTES.

Donc (m passera du In^arithmc d'un nombre (pudionijuc pris dans le système dont la hase est a. au logarithme de ce nombre pris dans le système dont la base est A , en multipliant le premier logarithme par une ipiantitc constante.

Désignons celto quantité constanlo par M : on aura, en considérant les bases A et a elles-mêmes,

Mais

Par suite, '

logA A logA a

log«A log.a logAA = log„.a= !.•

ce qui ramène à uno remarque déjà connue {.dlg., 234),

Ce qui resterait à dire pour achever cette exposition, est identique aux indications données en Algèbre (n"* 23C et suivants).