USAGE DE L.A RÈGLE

Midtiijlication. — Nous savons [-dlg. 2 ' 8 ) que si l’on considère un produit de deux facteurs a et b, on a

log ab = log rt -H log b.

Au moyen des échelles identiques tracées sur la règle et sur la rcglcUe, l’addition des deux logarithmes se fait immédiatement, de sorte qu’on peut lire en même temps sur la règle le produit cherché.

En effet, on n’a qu’à amener Pindkatcur {*) de la réglette soit.'i le premier facteur lu sur la règle : le produit se trouve alors sur la règle, audessus du second facteur lu sur la réglette. En opérant ainsi, la distance de l’origine de la règle au point où on lit le produit est bien égale à la somme des logarithmes des deux facteurs.

Une remarque est essentielle. On peut toujours, par le déplacement do la virgule, ramener les deux facteurs à n’avoir qu’un chiffre à leur partie entière. On n’ajoute alors, à l’aide do la règle, que les parties décimales des doux logarithmes. On reconnaîtra que la somme de ces parties est plus petite ou plus grande que l’unité, en voyant si l’expression du produit tombe sur la règle entre i et 10 ou, au delà, sur la seconde partie de l’échelle supérieure. On pourra d’après cela déterminer à priori la caractéristique exacte du produit cherché, et l’on pourra alors, sans difficulté, marquer dans ce produit la place de la virgule.

Suit à multiplier 234 par 71G. On multipliera 2,34 par 7,iG. Le produit approximatif iG,8 se trouvant sur la seconde partie de la règle, la somme des parties décimales des logarithmes des deux facteurs est plus grande que i. H en résulte que la caractéristique du produit (qui se compose de la somme des caractéristiques des logarithmes des deux facteurs et de la retenue entière fournié par la somme des parties décimales de CCS logarithmes), est ici égale à 5 : le produit contient donc six chif- Ires, et ce produit approché sera 1G8000. Le produit réel est 1G7544. L’erreur par excès est ici égale à 456 . L’erreur relative est, par suite,

~rô 0“ environ.

iGSooo 368

Règle générale (Arith. 40 ), le produit aura autant de chiffres que les deux facteurs ou autant moins i, suicant qu’il tombera dans la seconde ou dans la première partie de la règle.

(*) Pour plus do rapidito, nous appelons intUcairur, l'origine ou le n” 1 de la rogletlc.

IV OTES.

encore à niiiltiplier o,o%yS fMir 45,8. Nous clicrcherons le produit de a, 75 par 4,58. La rèj;le donne 12,6, Ce produit so trouve sur la seconde partie do la règle. I.a caractéristique du produit sera donc égale à 2 + 1 -f- 1 ou à O : il n’aura, par suite, qu’un chiffre à sa partie entière et sera 1,260. Le produit réel est i,25g5. Nous avons trouvé le produit cherché, à l’aide de la règle, à o,ooo5 près par excès : cette approximation est tout à fait accidentelle.

Si l’on avait à multiplier 3,78094 par o, 0074583, on multiplierait 3,78 par 7,46.

Si l'on a à multiplier un même nombre par une série de facteurs différents, on place l’indicateur sous le multiplicande constant et l’on cherche sur la règle, au-dessus des facteurs considérés lus sur la réglette, les multiples demandés.

On peut opérer la multiplication, en renversant la réglette, c’est-à-dire en l’engageant dans la rainure de manière que le bouton métallique sc trouve à gauche de l’opérateur, au lieu d’être à droite.

Il est visible que, dans cette position, si l’on fait correspondre le multiplicateur lu sur la réglette renverséc'au multiplicande lu sur la règle, le produit répondra sur la règle à l’indicateur ou, sur la réglette, à l’origine de la règle ; car l’intervalle qui séparera l’origine de la règle de l'indicateur sera égal au logarithme du multiplicande lu sur la règle de gauche à droite, augmenté dn logarithme du multiplicateur lu sur la réglette renversée de droite à gauclie.

Cette seconde méthode nous conduit naturellement au meilleur procédé à suivre pour effectuer une division à l’aide de la règle.

Division. — Le dividende représente le produit du diviseur par le quotient. Par conséquent, la réglette étant supposée renversée, si l’on amène l’indicateur sous le dividende lu sur lu règle, le quotient se trouvera sur la réglette au-dessous du diviseur lu aussi sur la règle ; ou bien , le quotient so trouvera wr /fl règle, au-dessus du diviseur lu sur la réglette. En effet, dans un cas comme dans l’autre, on retranchera du logarithme du dividende le logarithme du diviseur, c’est-à-dire qu’on satisfera à la condition

log J = logo — logé.

Une remnrtjuc est essentielle. On peut toujours, par le déplacement de la virgule, ramener le dividende et le diviseur à n’avoir qu’un chiffre entier. En opérant ainsi, on ne changera rien à la partie décimale des deux logarithmes; on rendra seulement égale à o la caractéristique de chacun d’eux, de sorte qu’on ne retranchera à l’aide de la règle que leurs parties décimales. Ceci posé, si le diviseur modifié est plus petit que lo dividende modifié, la soustraction sera directement possible, et la caractéristique du quotient sera réellement égale à la différence des caracté- 1

ristiques du dividende et du diviseur. Dans ce cas, on trouve le quotient '

sur la règle, à gauche du dividende.

Si, au contraire, le diviseur modifié surpasse le dividende modifié (pour s' en assurer, il suffit de comparer leurs premiers chiffres significatifs sur la gauche ), on ne pourra lire le diviseur sur la réglette qu'au delà de Porigine de la règle. Cette circonstance indiquera que la soustraction des parties décimales des deux logarithmes n’est pas directement possible, et ,

la caraclérisque du quotient sera réellement égale à la différence des ca- «j

IV OTES.

racléristiques du dividende et du diviseur, moins i . Pour rendre la soustraction possible, on augmentera d'une unité la partie décimale du logarithme du dividende, en portant Pindwatcur soirs le dividende lu sur la seconde partie de la règle ; et, au-dessus du diviseur lu sur la réglette, on trouvera le quotient (ou le nombre q'ui correspond, quant aux chilîres qui le composent, à la partie décimale du logarithme du quotient). Dans ce ras, on voit que le quotient se trouve sur ta première partie de la règle, à droite du dividcntlc lu sur cette même partie. r .. - ÿr-, - •

Soit à diviser 357 par 829. Nous diviserons 3,57 paf 8,29. Le premier chiffre à gauche du diviseur l'emporte sur le premier chiffre à gauche du dividende. Il faitdra donc lire le dividende sur la seconde partie de la' règle, et amener l’indicateur au-dessous de lui. On trouvera alors 43a pour quotient. La caractéristique du logarithme du quotient est, d’après ce qui précède, égale à 2 — 2 — 1 ou à i; lo premier chiffre significatif du quotient est, par suite, un chiffre de dixièmes, c’est-à-dire que ce quotient esto,43a. Lo quotient réel est o,43i. L’erreur est de 0,001 j>ar

excès, l’erreur relative est ^

Soit encore a diviser 9,8088 par 0,994. On divisera 9,81 par 9,94. Le premier chiffre significatif à gaucho du dividende est égal au premier chiffre significatif à gauche du diviseur; mais le chiffre suivant du diviseur l’emporte sur le chiffre suivant du dividende : il faudra donc chercher encore le dividende sur la seconde partie de la règle. On trouvera 985 pour quotient. I.a caractéristique réelle du logarithme de ce quotient est O — I — I ou O, c’est-à-dire qu’il n’a qu’im chiffre à sa partie entière ; il est, par suite, égal à 9,85. Le véritable quotient est 9,86.

Si l’on ne voulait pas renverser la réglette, on amènerait l’indicateur sous le diviseur lu sur la règle et on tirait sur la réglette le quotient audessous du dividende.

Dans une position quelconque de la réglette non renversée, vers la droite, lo nombre de la règle placé au-dessus de l'indicateur indique le rapport constant des nombres qui se correspondent deux à deux sur la règle et sur la réglette; car le logarithme du nombre lu au-dessus de l’indicateur, augmenté du logarithme du nombre pris comme diviseur sur la réglette, reproduit le logarithme du nombre pris comme dividende sur la règle. Si l’on a un diviseur constant et des dividendes variables, il vaut donc mieux ne pas renverser la réglette. On amène l'indicateur sous le diviseur constant et, au-dessous des dividendes successifs lus sur la règle, on lit évidemment sur la réglette les quotients correspondants. Au contraire, il faut renverser la réglette, si l'on a . un tlividentle constant et des diviseurs variables. On amène l'indicateur soiis ie dividende constant et, au-dessus des diviseurs successifs lus sur la réglette renversée, on lit sur la règle les quotients correspondants.

Remarque. — On peut, à l’aide d’une .seule lecture, effectuer une multiplication et une division, c’est-à-dire mulliplier un nombre donné par un rapport donné. Soit

ax b

On amènera le diviseur c lu sur la réglette aiwiessous du facteur a lu ,<iir la règle ; puis, aii-dc.ssus du facteur b lu sur la réglette, on liwiver.a .r.

KOTES.

En effet, le lostiritlimc de x est égal à la différence logrt —loge, augmenté de logi. Si la réglette sort vers in ganchc, la différence logrr — loge est négative.

Si l’on voulait opérer en renversant la réglette, on amènerait le facteur b lu sur la réglette au-dessoùs du facteur a lu sur la règle; puis, on trouverait x sur la règle au-dessus du diviseur c lu sur la réglette. En effet, on doit avoir

logfl -|-log6 = loge-j-logx.

Si le diviseur c ne correspond dans ce cas à aucun nombre de la règle, c’est-à-dire s’il est situé sur la partie de la réglette qui sott vers la gauche, on opère en lisant le facteur a sur la seconde partie do la règle, à partir du premier 10. Le facteur b est toujours lu sur la première partie de la réglette renversée. Quant au diviseur r, on le lit sur la seconde parlio do la réglette renversée, à partir du premier 10, et .r est le nombre correspondant sur la première partie de la règle.

Carrés et racines carrées. — Puisqu’on a

log«’ = 2logo,

il est évident que si on lit, sur l’échelle inférieure do la règle, le nombre a, on trouvera au-d(>ssu8, sur l’échello inférieure de la réglette, identique à son échelle supérieure, le carré fé de ce nombre. Car les divisions de l’échelle inférieure de la règle ayant une longueur double, les nombres qui correspondent sur la réglette aux nombres inscrits sur la règle ont en réalité des logarithmes deux fois plus grands. Inversement, la racine carrée de <7’ étant a, si on lit le nombre o’ sur l’échelle inférieure de la réglette, on lira au-dessous, sur la règle, sa racine a.

Ainsi, en faisant correspondre l'indicateur à l’origine de la règle, tous les nombres de l’échelle inférieure de la règle auront pour carrés les nombres corresjxmdants de l'échelle inférieure de la réglette; et réciproqiwment, les nombres de l’érhclle inférieure de la réglette auront pour racines carrées les nombres correspondants de l’échelle inférieure de la règle.

En se reportant à ce que nous avons dit en parlant de la multiplication, il est évident d’ailleurs que la caractéristique du logarithme d’un carré est égale au double ou nu double plus un de la caractéristique du logarithme du nombre élevé au carré, suivant que le carré obtenu, lu sur l’échelle inférieure de la réglette, tombe avant ou après le premier 10 de cette réglette. On saura donc toujours placer convenablement la virgule dans le résultat. ,

Cherchons le carré de 0,07871. On cherchera 7,87 sur l’échelle inférieure de la règle, cPle nombre correspondant sur la réglette sera 62. Comme ce résultat tombe sur la seconde partie de la réglette, la caractéristique du logarithme du carré demandé sera 2 x a-f-i ou 3. Ce c^rré sera donc 0,00620. Le véritable carré est 0,0061952641.

S’il s’agit d’extraire une racine carrée, il n’y a aucune difficulté, parce qu’on sait toujours quel doit être le rang du premier chiffre significatif à ganchc de la racine, fl faut seulement remarquer qu’on doit toujours modifier par la pensée le nombre dont on cherche la racine, de manière qu’il tombe entre i et 100, puisque l’échello inférieure de la règle est simple et no va que de i à 10. De plus, le diviseur ou le multiplicateur employé doit toujours être une puissance paire do 10 {Jriih., 20ff).

NOTES

Clierciluns la racine carrée tic 36y,S-/i. On lit lu numbre 5,C8 sur la ràgloUe. On trouve au-dessous, sur la règle, le nombre 2,38 ï. l.a racine carrée demandée sera donc a 3 , 82 . On tombe ici, par exception, sur la racine exacte.

Pour calculer l'expression

X = \jnb,

on amène l’indicateur sous le facteur a lu sur réclielle superiettre de la règle, on lit le facteur b sur l’échelle inférieure de la réglette et, au-dessous de ce facteur, sur l’échelle inférieure de la règle, on trouve x. En effet, X correspond ainsi au produit ab lu sur réchcllc supérieure de la règle, identique à l'échelle inférieure do la réglette.

Pour calculer l'expression

on peut amener le diviseur b lu sur la réglette au-dessous du dividendes lu sur la règle. .4u-dcssus de l’indicateur, on trouve alors le quotient et, au-dessous de ce môme indicateur, la racine carrée du quotient ou x.

Cubes et rneincs riibif/iies. — On a

log«" = 31ogn.

Par conséquent, pour avoir le cube de a, on amène l’indicateur au-dessus de ce nombre lu sur l’échelle inférieure de la règle et, au-de.ssus de ce même nombre lu aîors sur la réglette, on trouve évidemment son cube lu sur l’échelle supérieure de la règle. En effet, on ajoute ainsi le logarithme de n’, ou 2 logo au logarithme de a. Si le cube demandé tombe au delà de la seconde partie de l’échelle supérieure de la règle, on jieut remplacer l’indicateur par le premier 10 de la réglette, et lire le ré.sultal sur la règle, au-dessus du nombre donné lu sur la première partie de la réglette.

On j)eut aussi opérer en renversant la réglette. On fait coïncider, dans ce cas, la division qui correspond au nombre a lu sur la réglette, avec celle qui correspond au même nombre lu sur l’échelle inférieure de la règle. Le cube (é est alors le nombre qui correspond, sur la réglette, à l’origine de la règle ou, sur la règle, à l’indicateur. Il faut se rappeler qu’on peut supposer la règle continuée à droite, la réglette renversée continuée à gauche.

Cette remarque nous conduit immédiatement à la meilleure manière d’opérer pour obtenir la racine cubique d’un nombre. Après avoir retourné la réglette, on fait correspondre le nombre donné, lu sur la réglette, à l’origine de la règle ou le nombre donné, lu sur réclielle supérieure de la règle, à l’indicateur. On cherche ensuite les traits qui coïncident ou semblent le mieux coïncider, sur la réglette et sur l’échelle inférieure de la règle : ces traits, s’i/s eorresfionticni à des nombres égaux, indiquent la racine cubique demandée.

On voit que les nombres dont on veut obtenir la racine cubique doivent être compris entre i et 1000 , puisque cette racine, lue sur l’échelle inférieuie. de la règje, doit être comprise entre i et lo.

D’après ce qui précède, suivant qu’on lira lo cube d’un nombre sur la première partie de ta réglette, sur la seconde nu au delà (auquel cas on