Ceci posé, proposons-nous de multiplier deux nombres

quelconques l’un par l’autre : 9752 par 846, par exemple. Nous avons pour but de répéter le multiplicande 9752 autant de fois qu’il y a d’unités dans le multiplicateur, c’est-à-dire 846 fois, ou encore, 6 fois, plus 40 fois, plus 800 fois. Nous sommes donc conduits à multiplier 9752 successivement par 6, par 4« et par 800, puis à ajouter les produits partiels obtenus. •

Nous savons multiplier 9752 par 6, et le produit correspondant sera 585 12. Pour multiplier 9762 par 4<>, nous multiplie-

l4 AIUTHMÉTlQüE.

rons 9^52 par 4 el nous ajouterons un zéro à la droite du résultat ; nous obtiendrons ainsi 890080. Mais il est inutile d’ajouter ce zéro à la droite du produit de 9^52 par 4. En effet, nous devons, pour préparer l’addition des différents produits partiels, les écrire l’un au-dessous de l’autre, en faisant correspondre les unités de même ordre. Le zéro ne comptant pas dans l’addition, il suffira dès lors d’écrire le produit 89008 sous le produit précédent, de manière que le chiffre de ses unités soit au rang des dizaines, c’est-à-dire corresponde au chiffre du multiplicateur employé pour le former. De môme, pour multiplier 9752 par 800, on multipliera 9752 par 8, et on écrira le produit trouvé 78016 sous les produits précédents, de manière que le chiffre 6 de ses unités soit au rang des centaines : ce sera le reculer d’un rang vers la gauche par rapport au produit précédent, comme celui-ci l’a déjà été par rapport au premier produit.

On ajoutera les trois produits partiels, et l’on obtiendra pour produit total le nombre 8260192 qu’on séparera dos produits partiels qui ont concouru à le former par un trait horizontal : un autre trait doit séparer le multiplicande et le multiplicateur, de ces mêmes produits partiels.

Pour multiplier deux nombres quelconques l’un par l’autre, la règle générale sera donc celle-ci : Multiplier successivement le multiplicande par tous les chiffres du multiplicateur en commençant par le premier à droite, écrire les produits obtenus les uns au-dessous des autres en reculant chacun d’eux d'un rang vers la gauche par rapport au précédent, ajouter tous ces produits.

38. Il est essentiel (35) d’opérer les multiplications partielles en commençant parla droite du multiplicande; mais on peut employer les chiffres du multiplicateur dans un ordre quelconque : la seule précaution à prendre étant de faire exprimer à chaque produit partiel des unités de même ordre que le chiffre correspondant du multiplicateur.

Remarques snr^la multiplication.

39. Remarque 1. — Si les deux facteurs sont terminés par des zéros, il suffit de les multiplier, abstraction faite de ces zéros, puis d’en écrire un pareil nombre à la droite du résultat.

Ainsi, pour ^multiplier 827000 par 4200, on multipliera 827 par 42, et l’on écrira cinq zéros à la droite du résultat.

En effet, multiplier par 4200 revient (36) à multiplier par 42, puis à ajouter deux zéros à la droite du produit obtenu; multiplier 827000 par 42 revient à multiplier 827 unités de mille par 42, et ce produit contiendra autant d’unités de mille que

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le produit de 327 par 42 contiendra d’unités. Il faudra donc à la droite du produit de 827 par 42, écrire d’abord trois zéros parce que le multiplicande représente des unités de mille, et ensuite deux autres zéros parce que le multiplicateur représente des centaines.

W. Remarque II. — Le nombre des chiffres du produit est au plus égal au nombre des chiffres des deux facteurs réunis et, au moins, à ce nombre diminué de i.

Soit 2345 à multiplier par 83g. 83g étant compris entre 100 et 1000, le produit sera compris entre 234600 et 2346000: il aura donc au moins six chiffres et, au plus, sept chiffres.

La démonstration est générale, car l’unité de même ordre que les plus hautes unités du multiplicateur renferme toujours un zéro de moins que ce multiplicateur ne contient de chiffres, et l’unité immédiatement supérieure renferme le même nombre de zéros.

On n’a souvent besoin que de connaître les plus hautes unités d’un produit : on y parvient en s’appuyant sur ce qui précède, et en considérant les chiffres des plus hautes unités des deux facteurs.

Dans l’exemple indiqué plus haut, le produit des deux chiffres représentant les plus hautes unités des deux facteurs étant égal à 16, le produit partiel correspondant au dernier chiffre à gauche du multiplicateur contiendra 6 chiffres et, comme il doit être reculé de deux rangs vers la gauche, le produit total renfermera 7 chiffres : ce produit est égal à 1967466.

Si l’on a 2646 à multiplier par z3g, le produit des chiffres extrêmes des deux facteurs étant égal à 4, on peut affirmer que le produit total n’aura que 6 chiffres : ce produit est égal à 560456 (*).

J»l. Remarque III. — Onne change pas un produit de deux facteurs, en renversant l’ordre de ces facteurs.

Soit 5 à multiplier par 3; je dis que ce produit est égal à celui de 3 par 5. En effet, multiplier 5 par 3, c’est répéter 5 unités 3 fois. Écrivons trois lignes horizontales renfermant chacune 5 unités: ce tableau représentera le nombre d’unités contenues dans le produit de 5*par 3.

( *) Il est évident que si, au lieu de deux facteurs, on en a un nombre quelconque, le nombre des chiffres du produit sera au plus é(jal au iiombro des chiffres de tous ces facteurs réunis et, au moins, à ce nièiiie iioinbrc diminué do celui des facteurs.

l6 ARITHMÉTIQUE.

Si, au lieu de considérer les lignes horizontales, on considère les lignes verticales, on verra que ce tableau représente aussi 3 unités répétées 5 fois, c’est-à-dire le produit de 3 par 5. Les deux produits sont donc identiques.

42. De même que pour faire la preuve de l’addition, il faut la recommencer d’une autre manière; pour faire la preuve de la multiplication, il faut la recommencer d’une autre manière. D’après ce qui précède, on renversera l’ordre des facteurs, et l’on devra trouver le même produit.

XERCICES.

I. II y a 24 heures dans un jour, 60 minutes dans une heure, 60 secondes dans une minute. Chercher combien un jour contient de minutes et de secondes?

II. On a fondu une cloche, en alliant 33o kilogrammes d’étain, 1170 kilogrammes de cuivre, i5 kilogrammes de zinc et 12 kilogrammes de plomb. En supposant que le kilogramme d’étain vaut 2'’',5o, le kilogramme de cuivre 2'%7o, le kilogramme de zinc o''',6o, le kilogramme deplomb o''',7o ; on demande le prix de la cloche?

III. En supposant le rayon terrestre égal à i45o lieues et la distance de la terre au soleil de 24000 rayons terrestres, quelle est en lieues la distance de la terre au soleil?