Supposons que le quotient et le diviseur n’aient qu’un

chiffre. Le dividende ne pourra avoir qu’un ou deux chiffres, et l’on obtiendra le quotient en se servant de la table do multiplication. '

Soit 3g à diviser par 5. En descendant dans la ligne verticale commencée par 5, on verra que 3g tombe entre les produits de 5 par 7 et par 8 .

3g contient donc 7 fois le diviseur 5, plus un reste 4, différence entre 3g et le produit 35 qui en approche le plus par défaut ; 7 est donc le quotient demandé, et 4 est le reste de la division.

47. Supposons maintenant que le diviseur ait plusieurs chiffres, le quotient n’en ayant toujours qu’un seul.

Soit 6843 à diviser par 83g. On voit immédiatement que le quotient n’a qu’un chiffre, parce que le dividende étant plus petit que 10 fois le diviseur ou 83go, ne contient pas 10 fois ce diviseuT.

Ceci posé, au lieu de diviser 6843 par 83g, divisons 6843 par 800 . Puisque nous employons un diviseur plqs petit que . I. 2

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l8 AltITHMÉTIQL'E.

le diviseur doniié, nous pourrons trouver un quotient plus grand que le quotient cherché, mais seulement plus grand.

Diviser 6843 par 800 revient à diviser 6800 par 800. En effet, si l’on divise 68 centaines par 8 centaines, on trouvera pouf reste un nombre de centaines inférieur à 8 centaines au moins d’une centaine; dès lors, pour que Je dividende contînt une fois de plus le diviseur, il faudrait l’augmenter au moins d’une centaine, et non pas seulement de 43 unités.

Enfin, diviser 6800 par 800 revient à diviser 68 par 8; car 68 unités de centaines renferment autant de fois 8 unités de centaines, que 68 unités renferment. 8 unités.

On est donc conduit à diviser, par les plus hautes unités du diviseur, les unités de même ordre du dividende ; et Von obtient ainsi ou le quotient exact ou un quotient supérieur au quotient exact.

Il faut donc vérifier l’exactitude du chiffre trouvé; il faut V essayât.

Pour cela, on multiplie le diviseur par ce chiffre , et, selon que le produit trouvé est plus petit ou plus grand que le dividende, le quotient obtenu est exact ou trop fort.

Si le quotient obtenu est trop fort, on le diminue d'une unité et Von recommence l’essai jusqu à ce qu’il réussisse (*).•

Dans l’exemple proposé, en divisant 68 par 8,

on trouve 8 pour quotient (46). Le produit du diviseur 889 par 8 est égal à 6712; ce produit peut se retrancher du dividende 6843, et l’on obtient i3i pour reste. Le quotient demandé est donc 8, et le reste de l’opération est égal à i3i (**).

(*) Si l'on obtenait pour quotient un nombre plu» grand que 9, 00 no de-* vrait évidemment commencer les essais qu'au chilTreg.

(**) De même qu'on a divisé en réalité G800 par 800, on aurait pu diviser GSoo par 900 ou 68 par 9. On augmente ainsi le diviseur, on peut donc trouver un quotient plus polit que le quotient cherché, mais seulement plus petit. On essaye le chiffre trouvé comme il èst dit plus haut et, snivaDt que la soustrac^ tion donne un reste plus petit ou plus grand qiiu le diviseur, on en conclut que le quotient obtenu est exact ou trop faible. On a intérêt à augmenter ou à joverr ainsi d'une unité le chilTro dos plus hautes unités du diviseur, lorsque le chiitre <(ui vient après surpasse 5 . Soit, par exemple,

à diviser 1J09 par En divisant i 5 par a, on trouve 7 ; en divisant i 5 par 3 , on obtient immédiatement le véritable quotient qui est 5 . Ici le diviseur est bien plus près de 3 oo que de aoo.

^»8. On peut cffecluer à la fois la multiplication et la soustraction que l’essai du chiffre 8 exige. On y parvient en augmentant chaque chiffre du dividende d’autant de fois dix qu’il est nécessaire pour qu’on puisse en retrancher immédiatement le produit partiel correspondant , et en augmentant d’autant d’unités le produit partiel suivant.

Multiplions le diviseur SSg par 8. On aura d’abord 8 fois 9,

72. Il faudra alors -augmenter le chiffre 3 des unités du dividende de 70, et dire 72 de 78, reste i et je retiens 7. En passant au produit partiel suivant qui représentera des dizaines, il faudra par compensation l’augmenter de 7 unités, et dire 8 fois 3 font 24 et 7 de retenue font 3i. On continuera de la |

même manière, en disant 3i de 34» reste 3 et je retiens 3; . '

8 fois 8 font 64 et 3 de retenue 67 ; 67 'de 68, reste i . ]

L’opération présentera alors une forme plus simple. |

En suivant la marche qu’on vient d’indiquer, on pourra faire l’essai d’un chiffre sans rien écrire (*).

Cas où le quotient a plnsienrs chiffîres.

i9. Nous commencerons par déterminer les plus hautes unités du quotient.

Soh 4^5782 à diviser par 785. En multipliant le diviseur par 1 00, on obtient 78500, nombre inférieur au dividende ; en le multipliant par 1000, on obtient 785000, nombre supérieur au i

dividende. Le dividende étant compris entre 100 fois et 1000 fois j

le diviseur, le quotient sera compris entre 100, qui est le plus 1

petit nombre de trois chiffres, et 1000, qui est le plus petit nombre de quatre chiffres : le quotient aura donc trois chiffres, et ses plus hautes unités seront des centaines. >

Séparons alors les 4^57 centaines du dividende. Ce nombre de centaines sera nécessairement plus grand qu’une fois le diviseur et plus petit que dix fois le diviseur. En effet, si 4^57 ne surpassait pas 785, 4^5700 ne surpasserait pas 100 fois 785, et'le dividende 4*5782 ne serait pas plus grand que 100 fois le diviseur. De même, si 4*67 surpassait dix fois 785, 4*^700 surpasserait cent fois 7850 ou mille fois 785, et le dividende 4*5782 ne serait pas plus petit que 1000 fois le diviseur.

(*) La vérificalion sera souvent plus rapide, si l'on commence la soustraction par la gauche. Ainsi, en disant dans l’elemple précédent, S fois 8, 64 > C4 de 68, reste 4 centaines; on est immédiatementrdrdu cbifTre 8,carle chiffre suivantdu diviseur étant 3, le produit partiel suivant ne contiendra pas plus de 3 centaines. *

aO AIUTIlMÉTIQtE.

Aï l’on sépare sur lu gauche du dividende les unités de même ordre que les plus hautes unités du quotient, on obtient donc un nombre compris entre une fois et dix fois le diviseur. Et réciproquement, si l’on sépare un pareil nombre sur la gauche du dividende, les unités séparées marquent l’ordre des plus hautes unités du quotient.

50. Ceci posé, si l’on divise les^^^q centaines du dividende par le diviseur qS 5 , le chiffre 5 obtenu est te chiffre exact des centaines du quotient.

En effet, 4^57 contenant 5 fois le diviseur 785,425700 contient 5oo fois le diviseur, et le dividende 42578?. contient au moins 5oo fois ce même diviseur.

De plus, 4^57 étant inférieur à 6 fois le diviseur 785 au moins d’une unité, 425700 diffère de 600 fois ce diviseur au moins d’une centaine, et par suite le dividende 425782 ne contient pas 600 fois 785.

Le dividende tombant entre 5oo fois et 600 fois le diviseur , le quotient tombe entre 5oo et 600, c’est-à-dire contient 5 centaines et un certain nombre de dizaines et d’unités, qu’il s’agit de déterminer.

En retranchant 5 fois 785 de 4257, il reste 332. Donc, en retranchant 5oo fois 785 de 4257 centaines, il restera 33a centaines; et en retranchant 5oo fois le diviseur du dividende tout entier, on obtiendra pour reste 33282.

11 faut donc chercher maintenant combien de fois ce reste contient le diviseur, c’est-à-dire il faut effectuer une nouvelle division en prenant pour nouveau dividende le reste 33282 et en conservant le même diviseur 785.

D’après la remarque faite précédemment (W), on séparpra sur la gauche de ce reste assez de chiffres pour former un nombre compris entre une fois et dix fois le diviseur. Si Von est conduit ainsi à séparer les dizaines du reste, c’est que le quotient contient des dizaines; si l’on est forcé d’aller jus~ qu’aux unités, c’est que le quotient ne contient que des unités, et il faut alors mettre un zéro au quotient pour tenir la place des dizaines manquantes.

Dans l’exemple proposé, les 3328 dizaines du reste 33282 contenant 4 fois le diviseur, le chiffre des dizaines du quo-

AniTHMÉTIQUK. 2 1

lienlesl 4 - En relranchont 4 fois ■j 85 de 3328, on trouve pour reste i88. üonc en retranchant 4o fois 785 de 33282, on' trouvera pour reste 1882.

Ainsi, le nouveau dividende 33282 contient 4 o fois le diviseur 785, plus un reste 1882. Il faut donc chercher combien de fois ce reste 1882 contient le diviseur 785, en regardant à son tour 1882 comme un nouveau dividende.

, 1882 contient 2 fois le diviseur 785, plus un reste 3i2.

Le dividende 4^5782 renferme donc 5 oo fois, plus 4 <> fois, plus 2 fois, le diviseur 785, avec un reste égal à 3i2. Le quo-' lient demandé est donc 542, et le reste de l’opération est 3 12.

51 . En relisant attentivement la démonstration précédente, on est conduit à cette règle pratique pour la division de deux nombres quelconques ; Il faut séparer le dividende du diviseur par un trait vettical, le diviseur du quotient par un trait horizontal; marquer ensuite sur la gauche du dividende un nombre compris entre une fois et dix fois le diviseur, diviser ce nombre par le diviseur : le quotient obtenu est le chiffre des plus hautes unités du quotient. On multiplie le diviseur par ce chiffre, on retranche le produit obtenu de la partie séparée à gauche du dividende, qu’on appelle premier dividende partiel; et on forme un second dividende partiel en abaissant à côté du reste trouvé le chiffre suivant du dividende. En divisant le second dividende partiel parle diviseur, on trouve le second chiffre du quotient. On multiplie le diviseur par ce second chiffre, et l'on rétranche le produit correspondant du second dividende partiel. On obtient un second reste à côté duquel on abaisse un nouveau chiffre du dividende , et l’on opère sur le troisième dividende partiel ainsi formé comme sur les précédents. On continue Jusqu’à ce qu’on ait abaissé le dernier chiffre à droite du dividende.

Si quelques-uns des dividendes partiels obtenus sont inférieurs au diviseur, on met peur chacun d’eux un zéro au quotient et l’on abaisse le chiffre Suivant du dividende.

En employant la simplification déjà indiquée ( 48 ), on dispose l’opération comme il suit. — Dans le secpnd exeipplc,. le quotient présente plusieurs zéros.

HJI9022 65o2 . i 32

Remarques sur la division.

32 . Keharqu! 1. l.orsquc le diviseur n’a qu’un cbifl'n?, l'opération se simplifie, parce que les dividendes partiels suo->

cessifs n’ayant qu'un ou deux chiffres (49), on peut se dispenser de les écrire. On note seulement les chiffres du quotient, qu’on écrit sous le dividende à mesure qu’on les trouve, et le dernier reste.

Soit, par exemple, 4583g à diviser par 7.

On dira : en 45, 7 est contenu 6 fois pour 42» et il reste 3 ; en 38, 7 est contenu 5 fois pour 35, et il reste 3; en 33, 7 est contenu 4 fois pour 28, et il reste 5; en 5g, 7 est contenu 8 fois pour 56, et il reste 3. Le quotient est donc 6548 et le reste est 3.

53. Kemarquk II. Quand le quotient doit avoir un très-grand nombre de chiffres, on a intérêt à former d’avance ies produits du diviseur par les neuf premiers nombres. En comparant ensuite ces produits aux dividendes partiels successifs, on trouve immédiatement les différents chiffres du quotient •et les restes qui leur correspondent.

o 570235 og 8 1 347 263

1 fois 576. .

5 go

ig 83 ,8

Si. Remarque III. Il suit des démonstrations précédentes que diviser 548 1 7 par 2700 par exemple, revient à diviser 548 par 27 .

En effet, diviser 54817 par 2700 revient d’abord à diviser 54800 par 2700 : car quand on divise deux nombres de centaines l’un par l’autre, il faut au moins ajouter une centaine au dividende pour faire varier le quotient d’une unité (W); et diviser 548 unités de centaines par 27 unités de centaines revient évidemment à diviser 548 par 27.

AH1THMÉT1QUE. 2^

On trouve alors pour quotient 20 et pour reste 8 . En divisant 548 centaines plus 17 unités par 27 centaines, on trouvera pour quotient 20 et pour reste 8 centaines et 17 unités ou 817.

Donc, quand te diviseur est terminé par des zéros, on les né- • glige en même temps qu’un pareil nombre de chiffres sur la droite du dividende, on ne modifie pas le quotient en opérant ainsi ; seulement , à côté du reste trouvé, il faut abaisser les chiffres négligés à droite du dividende.

55 . Uemabque IV. Le nombre des chiffres du quotient est égal à la différence des nombres de chiffres du dividende et du diviseur ou à cette différence augmentée de i.

En effet, le premier dividende partiel renferme autant de chiffres que le diviseur ou autant plus i, puisque le produit du diviseur par un nombre d’un seul chiffre doit être contenu dans ce dividende partiel ( 51 , 40 ). Si le premier cas a lieu, le nombre des chiffres à abaisser au dividende étant égal à la différence qui existe entre les nombres de chiffres du dividende et du diviseur, et chacun d’eux devant fournir un chiffre au quotient, ce quotient contient un nombre de chiffres égal à la différence indiquée plus i, puisque le premier dividende par-, ticl fournit aussi un chiffre au quotient.

Si le premier dividende partiel contient un chiffre de plus que le diviseur, le nombre des chiffres à abaisser au dividende étant diminué de i, il en est de même du nombre de chiffres du quotient, qui est alors juste égal à la différence indiquée.

56 . Pour faire la preuve de la division, il suffit de vérifier la relation fondamentale : le dividende égale le produit du diviseur par le quotient, plus le reste.

57 . On peut faire la preuve de la multiplication au moyen de la division. En divisant le produit, considéré comme dividende, par l’un des facteurs, considéré comme diviseur, on

doit trouver pour quotient le second facteur avec un reste ' zéro ( 44 ).

EXE&CZCæS.

1 . La circonférence d’une roue de voiture étant de 4 mètres, combien cette roue fera-t-elle de tours par lieue commune de 44 44 mètres?

U. Combien y a-t-ii d’heures, de minutes et de secondes, dans 37845 secondes?

Iir. La lumière parvient du soleil à la terre en 8 minutes i 3 secondes, combien de lieues parcourt-elle par seconde, la distance des deux astres étant supposée égale à 34800000 lieues?

IV. La distance de la lune à la terre étant supposée égale à 38 1 99 000 métrés, on demande de calculer en combien de jours, heures, minutes et

2,i ARITHMÉTIQUE.

secondes, le son qui parcourt 3/|0 mètres par seconde, serait transmis de la lune à la terre, s’il existait une atmosphère pour le transmettre.

V. I.a consommation annuelle de la France en blé étant supposée s’élever à 5716439726 litres, calculer la consommation par habitant, en supposant le nombre des habitants égal à 34230178.

VI. En supposantque la circonférence de la terre contienne 40000000 de mètres, et sachant què cette circonférence est divisée en 36 o degrés, chaque degré en 60 minutes, et chaque minute en Co secondes, on demande la valeur en mètres d’un degré, d’une minute, d’une seconde.