N" = 2 * X 3’ X 5’ X II

Je dis que leur plus grand commun diviseur sera formé des facteurs premiers 2 et 3, pris avec les exposants 2 et i . En effet, tout diviseur commun aux nombres proposés ne peut contenir que des facteurs premiers communs à ces nombres (117), c’est-à-dire les facteurs 2 et 3; et il peut les contenir au plus avec les exposants les plus faibles qui les affectent dans les noinbre-s proposés, sans quoi il cesserait d’être diviseur commun. Le plus grand commun diviseur cherché sera donc 2 ’ x 3.

121. II. Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres ou le plus petit nombre divisible à la fois par ces nombres, est le produit des facteurs premiers différents contenus dans ces nombivs, pris avec leur exposant le plus élevé.

Soient les nombres :

Je dis que leur plus petit commun multiple sera formé des facteurs premiers 2 , 3, 5, 7 et 11 , pris respectivement avec les

(*) Il résulte de ce théorème que si Tod cherche le diviseur de deux

iiufnbres en opérant par voie de division, on peut supprimer dans Tun des uombres tout facteur premier qui n’entre pas dans Vautre nombre, sans changer ^ le plus grand commun diviseur cherché.

AKlTHMÉTlQüE. 55

exposants 3, 3, 2, 1 et i. En effet, tout multiple commun des nombres donnés doit contenir tous les facteurs premiers contenus dans ces nombres (117) ; et il doit les contenir au moins avec les exposants les plus élevés qui les affectent dans les nombres proposés, sans quoi il cesserait d’être multiple cbmniun. Le plus petit commun multiple cherché sera donc ^ 2’X 3 ’X 5 = X 7 X 1 1.

Remarque. — Si, parmi les nombres donnés, il en est qui se divisent exactement, on doit négliger les plus petits de ces nombres dans la recherche du plus petit commun multiple. Si l’on cherche, par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 5 160, 180 et 36, il est inutile de considérer 36 qui est un diviseur exact de 180, c’est-à-dire dont tous les facteurs premiers font partie des liicteurs premiers de i8o.

122. 111. Quand on considère seulement deux nombres, leur produit est égal au produit de leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple.

En effet, les facteurs premiers communs aux deux nombres entrent dans le plus grand commun diviseur avec leur plus faible exposant et, dans le plus petit commun multiple, avec leur exposant le plus élevé; le plus petit commun multiple contient en outre les facteurs non communs aux deux nombres. Le produit du plus grand commun diviseur par le plus petit commun multiple, contient donc tous les facteurs des nombres proposés (*).

( ) Cette remarque pourrait conduire à une seconde méthode générale pour trouver le plus petit commun multiple do plusieurs nombres. On voit que, dans le cas de deux nombres A et B, on devrait chercher leur plus grand commun diviseur D et diviser le produit AB par D ; en désignant pur M le plus petit cum-* num multiple, on a en effet

AB = DM,

d’où

AB:D=zM.

Dans la pratique, on n’effectuerait pas le produit AB, on diviserait B par 1), et l’on multii>lierait A par le quotient Q obtenu, de sorte qu’on aurait