CONVERSION DBS FRACTIONS ORDINAIRES EN DÉCIMALES
185. Nous avons vu (Chap. II) que les règles du calcul des fractions entraînaient une plus grande complication que les * règles du calcul des entiers. En effet, l’addition et la soustraction exigent toujours qu’on réduise préalablement les expressions proposées au même dénominateur ; et la multiplication et la division des fractions sont des opérations complexes qui renferment une double opération sur des nombres eptiers. -D’autre part, le calcul des nombres décimaux (Chap. 111) ne présente en réalité aucune différence avec celui des nombres entiers, et permet d’obtenir le résultat cherché avec une approximation plus facile à apprécier que lorsqu’on complète la partie entière de ce résultat à l’aide d’une fraction. Il est donc naturel de chercher à remplacer les expressions fractionnaires
par des expressions décimales équivalentes ; c’est ce qu’on appelle convertir une fraction ordinaire en décimales.
186. Soit la fraction -• Convertir cette fraction en décimales,
c’est' chercher à combien de dixièmes, de cejitièmes, de millièmes, etc., elle équivaut. En d’autres termes, puisque la
fraction - représente le quotient de 5 par 7 (loi), c’est effec-
tuer ia division de 5 par 7 à un dixième, un centième, un millième près (181). Il en résulte immédiatement que, pour convertir ui%e fraction ordinaire en décimales, il faut ajouter à la droite de son numérateur autant de zéros que l’expression décimale cherchée doit contenir de chiffres décimaux, et diviser le nombre ainsi obtenu par le dénominateur de la fraction. Dans la pratique, on n’écrit pas ces zéros, on les ajoute successivement à la droite des restes partiels, et L’on écrit une virgule au quotient dès qu’on est conduit à employer un premier zéro.
D’après cela, l’expression décimale de - en millionièmes
sera 0,714285 à moins d’un millionième par défaut ou 0,714286 à moins d’un demi-millionième par excès (180).
L’expression décimale de en millièmes sera 40,7 14 à moins d’un demi-millième par défaut (180).
Il y aura deux cas à considérer ; ou la conversion sera possible exactement, c’est-à-dire que la division poussée convenablement conduira à un reste nul ; ou la conversion sera impossible . exactement, c’est-à-dire que la division continuée indéfiniment ne conduira jamais à un reste nul.
187. I. Pour qu’une fraction ordinaire se réduise exactement en décimales, il faut et il suffit que son dénominateur ne contienne pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5 .
En effet, on peut toujours supposer les deux termes de la fraction proposée premiers entre eux. Pour que la réduction en décimales s’opère exactement, il faut que le numérateur de la fraction multiplié par une certaine puissance de 10 forme un nombre exactement divisible par son dénominateur (186);
el comme ce clénomiiiaicur esi premier avec le numérateur, il faut qu’il divise la puissance de lo employée (107); c'est-àdire qu’il ne peut pas contenir d’autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans cette puissance de lo.
Ainsi, la fraction ^ peut être convertie exactement en déci-
males, parce que le dénominateur 8 = 2 ’. 11 suffira de multiplier le numérateur 5 par 10 ’ = 2 ^ X5’, pour introduire autant de facteurs 2 au numérateur qu’il y en a au dénominateur, c’est-à-dire pour rendre la division possible. On trouvera alors
Fractions décimales périodiques.
188. II. Longue le dénominateur de la fraction donnée contient des facteurs premiers étrangers aux facteurs 2 et 5, la conversion exacte est impossible, et le quotient illimité qu’on obtient est périodique.
S’il s’agit, par exemple, de la fraction -> quelle que soit
la puissance de 10 par laquelle on multiplie le numérateur 5, on ne pourra jamais introduire au dividende le facteur premier 7 ; dès lors la division n’aura jamais de fin. •
De plus, les restes successivement obtenus seront toujours inférieurs au diviseur et, comme on ne peut trouver le reste o, on ne pourra obtenir que les «a: restes i, 2,3, 4 . 5, 6. Par conséquent, après six divisions au plus, un des restes déjà trouvés
( • ) Soit la fraction Si i = 2" x 5 ^, n étant anpposé > p, il faudra multiplier le numérateur par lo* ou 2" x 5 ". L'expreasion du quotient sera alors
et Ton pourra poser
= «xr."-'’,
On voit qu’il y a autant de décimales dans l’eïpreasion exacte que d'unités dana l’exposant le plus élevé des facteurs premiers 2 et 5 qui entrent au dénominateur; de plus, on obtient le nombre décimal cherché, abstraction faite de la virgule, en multipliant lo numérateur a par celui de ces facteurs premiers 2 et 5 qui a le plus faiÛe exposant, ce facteur devant être affecté d’un exposant égal à la différence des exposants n et p.
lOO
re|>ardUra ; ce reste l•alnelle^.l le iiièine UiAiileiiile |iarUel et le même chiffre du (|uuliem, et puisqu’on sera alors dans des conditions identiques à celles où l’on (Hait placé à la première apparition de ce reste, les chiffres du quotient, à partir du rhilTre considéré, se reproduiront d’une manière indéfinie, périodiquement et dans le même ordre. On dit alors que ce quotient est un quotient décimal périodique ou une fr/irlion décimale périodique.
Pour la fraction -i on trouve les six restes possibles dans un >
ordre irrégulier ; après (]uoi, le premier reste 5 nqtarall. I.e quotient périodique est
lO
Remarquons que ce (|uoiient représente ^ è un dixième, à un
centième,. . . , à un millionième près, suivant ([u’on s’arrête au premier, au second,..., au sixième chiffre décimal. On ap-
proche donc autant qu’on veut de -? à mesure qu’on prend au
quotient un plus grand nombre de chiffres, et l’on peut écrire
que - est la limite de ce quotient illimité ou
- = limite de 0,7 14285 714285 714285 71... ( 139 ).
L’ensemble des ebiffres qui se reproduisent constitue la période de la fraction décimale périodique considérée. On peut remarquer que cette période contient au plus h — 1 chilïres, si le dénominateur de la fraction ordinaire génératricci!<est b.
La période peut commencer immédiatement après la virgule : la fraction est alors dite périodique simple,
La période peut commencer un certain nombre de rangs après la virgule : la fraction est alors dite périodique mixte. L’ensemble des chiffres placés entre la virgule et la partie périodique, chiffres (|ui ne se reproduisent pas, constitue la partie non périodique.
AUITHMÉTIQL'K.
lO I
Retour à la fraction ordinaire génératrice (*].
189 . Étant (lonnp.e une fraction périodique, proposons-nous inainlcnanl do retrouver la fraction ordinaire dont la conversion en décimales lui a donné naissance.
Soit d’abord une fraction périodique simple telle que
l'renons seulement trois périodes, et représentons par a la valeur de ces trois périodes. Nous aurons
Multi])lions par 1000 les deux membres de cette égalité, de manière à faire passer une'période avant la virgule. Il viendra :
(*} Nous croyons que, pour être bien saisi, ce paragraphe doit être prccédu Hes coostdératioDS suivantes: nous les donnons donc en note.
Les théorèmes qu’on va démontrer seront d'ailleurs utiles par la suite.
1. Les puissances d'un nombre plus ^vand t^ue i croissent indéjiniment, de matùère à pouvoir surpasser toute (juantilé donnée.
Soit le nombre a >- i . a* sera plus grand que a, parce que le produit est plus grand que le multiplicande, lorsque le multiplicateur surpasse l'unité. On aura de même n* > a’, u* > a*,. . . , a” > Ain.si, les puissances successives de a
croissent iodênnimcnt; maison ne sait pas ù priori si leur valeur fiuira par surpasser toute quantité donnée, car une quantité variable peut croître indéftiiimcnt, tout en s’approchant d'une certaine limite Oxe : il faut prouver que, dans le cas considéré, cette limite n’existe pas.
Je dis qu'on pourra trouver pour l'exposant m une valeur toile que <i* sur* passe N, N étant un noinbrc aussi grand qu'on voudra le supposer. Désignons par a l'excès de e sur l’unilé et posons /i — i = -3r. Nous aurons, d’après la remarque qui précède, ^
•Si nt»us ujouUms membre a membre la première égaliU* et les m — i inegalilés suivantes, il viendra
— 1 ^ m a ou /»”* > I -I- /7J a .
Posons i-|-nja = N, Nous t»n déduirons '
Si l’on donne ceUe voleur a iw, fi” qui surpasse toujours i-t-my, surpassera aiiî^i N.
lOa ARITHMÉTIQLE.
Ketraiicilüns ineiiibre à membre l'égalisé (i) de l'égalilé (a), nous trouverons
= ab'ÿ — 0,000 000 a.67
ou
Pour avoir la valeur de «, il suffira de diviser par 999 les deux membres de l’égalité obtenue. On aura donc
La valeur des trois périodes considérées est donc égale à
diminuée de la fraction Remarquons que le
dénominateur de cette fraction renferme 1000’, parce que nous avons pris trois périodes. Si nous en prenons quatre, il renfermera iooo‘; si nous en prenons cinq, il renfermera iooo‘; si nous en prenons un nombre quelconque n, il renfermera 1000". L’expression trouvée est donc générale, en ce sens qu’il suffit d’y faire varier l’exposant de 1000 de manière qu’il soit toujours égal au nombre des périodes considérées, pour
II. Les puissances d’une quantité plus petite que i décroissent indéjinimenty de manière à pouvoir tomber au^dessout de toute quantité donnée.
Soit le nombre On aura
parce que le produit est plus petit que le multiplicande lorsque le multiplica* teur est plus petit que i . On aura de môme
Il reste à prouver que l^)n peut donner à m une valeur telle que oT tombe audessous de Nétantun nombre aussi ^rand qu’on voudra ou une fraction aussi petite qu’on voudra.
Puisque U est <ii, on peut le représenter par une fraction -î;» a' étant > i
^si a alors
représentait la fraction -y —, représenterait
(ïï
et a' serait
On aura
pour i|iic soit plus petit que il faut donc (pic — soit plus petit que ^
ou a"** ]> N, coudilioii qu’on peut toujours leiuplir d’après le premier théorème, puisque a'est supérieur âi : a" convertît» doue vers zéro à me>ure que waïq'incnlr.
AHITHMÉTIQUEj io3
avoir la valeur üe ce nombre de périodes. Si nous désignons par A la valeur de n périodes, nous pourrons écrire
ou
A mesure que n augmente, devient de plus en plus
petit, tandis que est une quantité fixe. Si n surpasse toute
quantité donnée, tombe au-dessous de toute quantité
donnée [voir la note). La quantité qu’il faut retrancher de
pour avoir la valeur des n périodes, devient donc de plus en plus petite à mesure que n augmente, et sa limite est zéro, puisque l’un des facteurs de cette quantité restant invariabley
l’autre converge vers zéro. Par suite, la fraction — - est elle-
même la limite vers laquelle converge la valeur de toutes les* périodes. En désignant leur somme par x, on aura rigoureuse-
iflent
Ainsi, la fraction ordinaire génératrice d’une fraction périodique simple a pour numérateur une période et, pour dénominateur, un nombre formé d'autant de g que la période contient de chiffres,
