Soit, en second lieu, une fraction périodique mixte

Désignons par x la valeur exacte de celte fraction ; on aura X = o, 32 <)i 5 Gi 5 6 i 5 61 ... .

Multiplions les deux membres de celle égalité par 100 , de ma-

Io4 ARlTiméTlQUË.

nièrc à faire passer la partie non périodique avant la virgule ; il viendra

ioox= 32,6 i56i5(îi56i . . ..

Remarquons que nous n’avons en rien diminué le nombre des périodes : nous avons seulement déplacé la virgule de manière à la placer avant la première période. Le second membre est donc égal à 32 augmenté d’une fraction périodique simple dont

la période est6i5, c’est-à-dire à 32 • Par suite,

lOO JT = 32 -1

I oo 99f)oo

Effectuons le calcul indiqué datis le second membre, nous aurons I

On peut remplacer 99 ;) au numérateur par looo — 1 et écrire

c’est-à-dire

32X(iooo — i)4-1îi5 32000 — 32-h6i5

99î)oo

Cette manière d’opérer est évidemment générale, car les trois zéros de 32000 seront toujours remplacés par la période 6i5.

La fraction ordinaire génératrice d’une fraction périodique mixte a donc pour numérateur Vensemhle de la partie non périodique suivie d'une période, diminué de la partie non périodique, et pour dénominateur un nombre formé d’autant de g que la période contient de chiffres, suivi d’autant </e zéros que la partie non périodique contient de chiffres.

192. 'Remarquons que le dénominateur de cette fraction qui est, dans l’exemple considéré, X 100 , renferme des facteurs premiers étrangers à 2 et à 5 provenant de 999 , et des facteurs 2 et 5 provenant de 100 . Lorsqu’on voudra réduire la fraction à sa plus simple expression, les facteurs étrangers ne pourront pas tous disparaître, sans quoi la fraction aurait une expression décimale exacte. De plus, on ne pourra jamais la diviser haut et bas par 10 . H faudrait pour cela, en effet, que la différence 32,6i5 — 3z fût terminée par o ou que le dernier chiffre de la partie périodique fût égal au dernier chiffre de la partie non périodiciue : ce rjui est impossible. Si, dans l’exemple proposé, (Ml remplaçait 5 par 2 , il viendrait

X = (1 , 3 2.C I 2ti t 2(i I ef! I . -,

ARITHMÉTIQUE. FOD

et la période ne serait pas (iia, mais bien 261, c’est-à-dire qu’elle commencerait un chifl're plus tôt.

Puisqu’on ne peut pas diviser par 10 les deux termes de la fraction ordinaire génératrice d’une fraction périodique mixte, il en résulte que son dénominateur contiendra toujours autant de facteurs 2 ou autant de facteurs 5 qu’il contenait de zéros avant la réduction de la fraction à sa plus simple expression ; car, si on peut diviser haut et bas par 2, on ne pourra pas diviser par 5 , et inversement. On peut donc dire que l’exposant le plus élevé des facteurs 2 et 5 que renferme le dénominateur de la , fraction génératrice, marque dans tous les cas le nombre de chiffres de la partie non périodique.

193 . En rapprochai!» les résultats obtenus, on voit que toute fraction ordinaire dont le dénominateur ne renferme que des facteurs premiers étrangers à 2 et à 5 , conduit à une fraction périodique simple, parce qu’elle ne peut conduire ni à une fraction limitée ( 187 ), ni à une fraction périodique mixte ( 192 ).

De même, toute fraction ordinaire dont le dénominateur contient à la fois des facteurs premiers étrangers à 2 et à 5 et des facteurs 2 et 5 , conduit à une fraction périodique mixte, parce qu’elle ne peut conduire ni à une fraction limitée, ni à une fraction périodique simple ( 190 ) ; et le nombre des chif-^ fres de la partie non périodique est d’avance indiqué par l’exposant le plus élevé des facteurs 2 et 5 du dénominateur ( 192 ).

19 i. Remarques. — I. Si l’on a des entiers joints à une fraction décimale périodique, il est facile de remplacer l’expression donnée par une expression exacte, en opérant comme il suit et en s’aidant des résultats précédants. Soit l’expression

On en déduit