THÉORIE DE LA RACINE CARRÉE
195. Nous avons terminé tout ce qui a rapport aux deux formes sous lesquelles on peut directement considérer les nombres. Les nombres entiers répondent à l’addition successive de l’unité ; les nombres fractionnaires, à l’addition successive d’une certaine partie aliquote de l’uqité. Cette partie aliquote peut être variée d’une manière quelconque, de sorte que le champ des nombres fractionnaires est beaucoup plus vaste que celui des nombres entiers. La progression des nombres entiers se retrouve à la fois au numérateur et au dénomij nateur de l’expression fractionnaire et, de plus, à un numérateur donné on peut faire correspondre tel dénominateur qu’on voudra.
Nous avons vu ensuite comment on pouvait simplifier les procédés du calcul en considérant spécialement les fractions décimales et en y ramenant toutes les autres, soit exactement, soit avec une approximation donnée.
Il nous reste à étudier une dernière classe de quantités que nous retrouverons constamment en mathématiques et qui naissent, en particulier, de la considération des racines , c’est-àdire qu’on y est conduit par la sixième opération fondamentale, inverse de l’élévation aux puissances (77).
196. On appelle racine carrée d’un nombre, le nombre qui élevé au carré reproduit le nombre proposé. Ainsi, a5 étant
égal au carré de 5, 5 est la racine carrée de a5; de même, -
étant le carré de ^ est la racine carrée de -•
On indique la racine carrée d’un nombre au moyen du signe ^ y qu’on appelle radical. On écrira donc
S’il s’agit d’une racine de degré plus élevé, on emploie le même signe et l’on écrit entre ses branches le nombre* qui correspond au degré de la racine, c’est-à-dire \' indice de cette racine. Pour indiquer, par exemple, I 9 racine cubique de 64, on écrira J 64 = 4-
Le carré d’un nombre entier ou fractionnaire s’appelle carré parfait.
197. Tout nombre entier qui n’est pas carré parfait d’un 'nombre entier, ne peut pas l’être d’une fi'action (ICI). Sa racine carrée ne pourra donc être exprimée exactement ni par un nombre entier ni par une fraction.
Toute fraction dont les deux termes ne sont pas carrés parfaits, ne peut être elle-même carré parfait d’une autre fraction (161). Sa racine carrée ne pourra donc être exprimée exactement ni par un nombre entier ni par une fraction.
198. Lorsque deux grandeurs sont multiples d’une troisième jtrandeur, cette troisième grandeur se nomme leur commune mesure; et les nombres qui représentent les deux premières grandeurs, lorsque la troisième est prise pour unité, sont dits commensurables entre eux.
• Lorsque deux grandeurs n’ont pas de commune mesure, elles sont dites incommensurables entre elles; et les nombres qui les représentent, nombres qu’on ne peut obtenir exactement lorsqu’on veut rapporter les grandeurs considérées à une même unité, sont des nombres incommensurables entre
eux.
Ceci posé, une unité étant choisie, on aura trois cas à examiner. Les grandeurs à mesurer pourront contenir exactement l’unité : elles seront alors représentées par des nombres entiers; ou bien, ces grandeurs contiendront exactement une partie aliquote de l’unité : elles seront alors représentées par des nombres fractionnaires; enfin, ces grandeurs ne contiendront exactement ni l’unité, ni aucune partie aliquote de l’unité ; elles seront alors incommensurables et correspondront h «les nombres incommensurables.
Les racines carrées des nombres entiers qui ne sont pas carrés parfaits et des fractions dont les deux termes ne sont pas carrés parfaits, ne pouvant être exprimées exactement ni par un nombre entier ni par une fraction (197), sont des nom-
bres incommensurables :
et
sont des nombres incom-
mensurables.
199. Les nombres incommensurables ne pouvant être nécessairement représentés tpie par des symboles, il est im|)ortanl
(1 p marquer leur place dans l’échelle des grandeurs exactes. Nous dirons donc, pour préciser les idées, que lorsqu’une grandeur incommensurable tombe entre fieux grandeurs commensurables, le nombre incommensurable qui lui correspond est compris entre les deux nombres commensurables qui mesurent les grandeurs limites considérées.
On pourra, d’après cela, obtenir l’expression numérique d’une grandeur incommensurable, sinon exaetement, du moins avec telle, approximation qu’on voudra. Soit, en effet, une. grandeur incommensurable quelconque. Partageons l’unité en P parties égales et supposons que la grandeur proposée tombe entre m et ni-t-i de ces partie^; le nombre qui lui
correspond tombera entre — et * ■ : la différence de ces
PP
expressions étant -» il différera de chacune d’elles de moins
de ~ En le remplaçant par l’une ou l’autre, on fera donc une
erreur plus petite que -» c’est-à-dire aussi petite qu’on voudra en donnant à p une valeur convenable.
Nous devons donc nous proposer dans ce chapitre de trouvér la racine carrée d’un nombre, exactement lorsque cela sera possible, c’est-à-dire lorsque ce nombre seraun carré parfait, de la trouver avec une approximation donnée dan.s le cas contraire (*).
Composition du carré d’ane somme de deux parties, et remarques sur les carrés.
' 200. Pour trouver le carré de la somme 7 -h 3, il faut multiplier 7 - 1-3 par 7 -t- 3. En suivant la règle indiquée (63), on trouve pour résultat
( * ) n faut bien remarquer que tout ce que nous venons de dire est relatif au choix de Tunité. Une grandeur incommctisnrahic avec une certaine unité peut être comroensurahle avec une autre. Quant aux nombres considérés abstraite* ment, comme ils expriment des rapports^ ils restent commensurables ' u iiicom* mensurables, sans qu’il y ait variation quand on passe d’un système à un autre. Ainsi, une grandeur est toujours incommensurable quand elle contient deux fuis ruiiUé choisie, parce que le rapport 7 est tel qu’aucune expression iiumé-
IIO " AKITHHÉTIQVE.
7’-t-2.{7X3)-|-3’; c’est-à-dire que le carré d’une somme de deiïx parties est égal au carré de la première partie, plus le double produit de la première partie par la seconde, plus le carré de la seconde partie (*).
Tout nombre plus grand que 9 étant composé de dizaines et d’unités, on peut dire d’une manière générale que le carré d’un nombre entier contient le carré de ses dizaines, plus le double produit de ses dizaines par ses unités, plus le carré de ses unités.
Ainsi, l’on aura
D’après ce qui précède, on a
(fl -t- 1 )’ = a’ 4- 20 4- I ,
d'oii
(fl4-i)’ — a’=2fl4-i.
Par conséquent, la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à deux fois le plus petit nombre plus I
Si le carré de 3o est égal à 900, le carré de 3i sera égal à 900 4- 2 X 3o 4- 1 ou à 961 .
201. La table suivante donne les carrés des neuf premiers nombres :
On peut remarquer que le carré d’un nombre est nécessairement terminé par le même chiffre que le carré de ses unités. En effet, le carré des dizaines étant terminé par deux zéros, et le double produit des dizaines par les unités par un zéro, quand on additionne les yois parties qui constituent le carré, la colonne des unités ne renferme que le chiffre qui termine le carré des unités. Si, de plus, le nombre proposé est terminé par un 5, son carré doit être terminé par 25 ; car le double produit des dizaines par les unités est, dans ce cas, terminé
rique élevée au carré ne peut le reproduire. Si Vnnité est choisie 2 fois plus petilO) la grandeur devient commensurable parce qu'elle se trouve représentée par 4 * , ,
Il est bon de noter qu'il n'y a pas analogie entre les nombres incommensurables et les fractions décimales périodiques, puisque ces dernières expressions sont toujours susceptibles d’une représentation numérique^exactc.
(*) Si l’on élevait 7 — 3 au carré, on trouverait évidemment (64) ~
AllITHMÉTIQUE. III
par (leux zéros. Ainsi
35*=(3o + 5)’=-5 o’+ 2X3 ox 5 + 5’=9oo-|-3oo+25=i225.
Enfin, si un nombre est terminé par un nombre quelconque de zéros, son carré sera terminé par deux fois plus de zéros; ceci résulte des principes de la multiplication (39).
En se reportant à la table des carrés des neuf premiers nombres, on. voit que les nombres terminés par i et g auront leurs carrés terminés par i ; que les nombres terminés par 2 et 8 auront leurs carrés terminés par 4 ; que les nombres terminés par 3 et 7 auront leurs carrés terminés par 9; que les nombres terminés par 4 <?l ^ auront leurs carrés terminés par 6; enfin que les nombres terminés par 5 auront leurs carrés terminés par 25.
Donc, tout nombre terminé par 2, 3, 7 ou 8, ne peut pas être un carré parfait; tout nombre terminé par 5, sans l’être pari5, ne peut f^s être un carré parfait; tout nombre terminé par un nombre impair de zéros ne peut pas être un carré parfait.
Extraction de la racine carrée d’nn nombre à l’nnité près.
202. Nous commencerons par remarquer que, pour extraire la racine carrée d’un nombre fractionnaire à l’unité près, il suffît d’extraire à l’unité près la racine carrée de sa partie entière.
En effet, pour que la racine carrée d’un nombre entier croisse d’une unité, il faut que ce nombre croisse lui-même au moins d’une unité, . puisque la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à deux fois le plus petit nombre plus un (200). Si l’on augmente un nombre entier d’une fraction proprement dite, on ne peut donc changer en ' rien la partie entière de sa racine carrée. Ainsi, extraire la
racine carrée de 33a 4- — à l’unité près ou extraire la racine
carrée de 33a à l’unité près, revient au même.
203. Ceci posé, la question se trouvant ramenée dans tous les cas à extraire la racine carrée d’un nombre entier à l’unité prèst il faut distinguer entre les nombres plus petits et plus grands que 100.
Lorsqu’un nombre est plus petit que 100, il suffit de consulter la table des carrés des neuf premiers nombres. On voit immédiatement, par exemple, que la racine carrée de 49 ' est 7 ; et que 78 tombant entre 64 et 81 , sa racine carrée tombe entre 8 et 9 (199), de sorte qu’elle est 8 par défaut et 9 par excès à l’unité près.
*•3 arithmétique.
204. Si le nombre considéré est plus grand que loo, comme 487919, sa racine carrée est plus grande que 10 : elle l eiileriue dès lors des dizaines et des unités. Si le nombre donné est un carré parfait, il contient les trois parties qui composent le carré de sa racine (200) ; s’il n’est pas un carré parlait, il contient en outre une quatrième partie qui représente son excès par rapport au carré de sa racine, et qu’on appelle fe reste de l’opération.
Le carré des dizaines de la racine ne pouvant donner que des centaines sera compris dans les 4879 centaines du nombre proposé, .le dis qu’cn extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans ces centaines, on aura nécessairement le nombre des dizaines de la racine.
En effet, désignons par a ce plus grand carré entier. On aura, en se reportant à l’exemple choisi,
«’<4879<(rt+ 1)’, ,
par suite,
rt'X io’<4879oo<{fl -4- 1)’ X 10’.
Les deux termes extrêmes différant «« ;no/«5 de 3 centaines (pour a = i), on peut ajouter au terme intermédiaire une quantité plus petite qu’une centaine sans changer le sens des inégalités. On aura donc
fl’X io>< 487919 <(rt-t-i)>x 10’.’
On en déduit
aX io< v'4879i9<(rt+ i)x 10.
La racine carrée de 487919 tombant entre a dizaines et (« -f- 1) dizaines, contiendra a dizaines, a représentant, comme nous l'avons dit, la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans les 4879 centaines du nombre donné.
On est conduit à extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 4879, c’est-à-dire à extraire la racine carrée de ce nombre à l’unité près. Mais 4879 étant > 100, sa racine est plus grande que 10; les raisonnements précédents ’ sont donc applicables, et il faut extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans les 48 centaines de 4879, pour obtenir les dizaines de sa racine carrée. Le plus grand carré entier contenu dans 48 est 36 dont la racine carrée est 6.
Le chiffre des dizaines de la racine carrée de 4879 est donc 6 • reste à trouver le chiffre des unités.
AniTHMÉXlQl E. Il3
Pour cela, retranchons 36 de 48; on trouve 12 : en retranchant le carré de 60, c’est-à-dire le carré des dizaines de la racine ou 36oo, de 4879» on trouvera donc 1279. Le reste 1 279 ainsi obtenu contient au moins le double produit des dizaines de la racine par les unités cherchées, plus le carré de ces unités. Le double produit des dizaines de la racine par ses unités ne pouvant donner que des dizaines, se trouvera dans les 127 dizaines du reste En divisant 127 par le double 12 du
nombre de dizaines de la racine, on aura donc pour (luolient le chiffre des unités de la racine ou un chiffre supérieur. Je dis supérieur, parce que 127 représente non-seulement le double produit du nombre de dizaines de la racine par ses unités, mais contient en outre les dizaines des autres parties qui composent 1279. Le quotient obtenu devra donc toujours être essayé : le premier chiffre de la racine est le seul qui soit nécessairement exact.
127 divisé par 12 donne 10 pour quotient; mais, comme le chiffre cherché est inférieur à lo puisque le chiffre des dizaines est forcément 6, nous essayerons 9. La racine carrée de 4879, à l’unité près, est égale ou inférieure à 69. Si le carré de 69 peut se retrancher de 4879, le chiffre9 est exact; sinon, il faut le diminuer d’une unité et recommencer l'essai. Nous avons déjà retranché de 4879» 36oo ou 60’; il faut donc seulement vérifier si l’on peut retrancher du reste 1279 les deux autres parties du carré de 69. On peut évidemment former ces deux parties d’un seul coup, en écrivant le chiffre 9 à côté du double 12 du premier chiffre 6 de la racine et en multipliant le résultat 129 par 9. On obtient 1161 qui, retranché de 1279, donne 1 18 pour reste. 69 représente donc la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 4879.
Par conséquent, en revenant au nombre 487919, 69 représente les dizaines de la racine carrée de ce nombre; reste à trouver le chiffre des unités.
En retranchant 69’ de 4879, on trouve 1 18; en retranchant le carré de 690 de 487900, on trouvera donc 11800 et, par suite, en retranchant le carré de 690 ou le carré des dizaines de la racine de 487919, on trouvera pour reste 11819.
1 1819 contient au moins le double produit des dizaines de la racine par les unités cherchées, plus le carré de ces unités. Par conséquent, les dizaines i i8i du nombre i iStq sont ati moins égales au double produit du nombre 69 des dizaines de la racine par les unités inconnues et, en divisant 1 181 par 69 x 2 ou i38= 1294-9, on obtiendra un quotient égal ou supérieur à res mêmes unités.
Alin ifMÉTIQl E.
Gi)8
(i8i divisé par 1 38 donne 8 pour cjuolienl. Pour essayer le ehtffreS, il laul voir si l’on peut retrancher de 487919 le carré de 698. On a déjà retranché de 487919 le carré de 690; il faut donc seulement retrancher du reste 1 1819 les deux autres par- » lies du carré de 698, parties qu’on formera en écrivant à côté du double i 38 de la partie 69 déjà écrite à la racine le chiffre 8 à essayer, et en multipliant par 8 le résultat i 388 . On obtient 11104 qui, retranché de 11819, donne le reste 715. La racine carrée demandée est donc 698 à l’unité près par défaut, et 7 15 représente le reste de l’opération.
205 . En relisant attentivement les raisonnements précédents, on arrive à formuler la règle suivante : ' •
Pour extraire la racine carrée d’un nombre entier à l'unité près, on le partage en tranches de deux chiffres à partir de la droite et en remontant vers la gauche, de sorte que la dernière tranche à gauche peut n’avoir qu’un chiffre. Le nombre des tranches obtenues indique le nombre des chiffres de la racine.
On obtient le premier chiffre de la racine en extrayant la racine carrée du plus grand carré entier contenue dans la dernière tranche à gauche. On retranche le carré de ce chiffre de cette même tranche et, à côté du reste, on abaisse la tranche suivante ; on sépare les dizaines de l’ensemble obtenu. En divisant ces dizaines par le double du premier chiffre de la racine, on a le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. Pour l’essayer, on l’écrit A côté du double du premier chiffre de la racine et on multiplie le résultat obtenu par le chiffre essayé. Si le produit peut se retrancher de l’ensemble du premier reste et de la seconde tranche, le chiffre essayé est exact ; sinon, on le diminue d’une unité, et l’on recommence l’essai, A côté du second reste, on abaisse la troisième tranche, on sépare les dizaines de l’ensemble obtenu, on les divise par le double de la partie écrite A la racine, et l’on a le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort dont l’essai s’effectue comme précédemment.
On con tinue A suivre la même marche, jusqu A l’abaissement de la dernière tranche qui conduit au dernier chiffre de la racine et nu reste de l’opération.
11 est évident qu’on ne peut posera la fois qu’un chiffre à
ARITHMÉTIQUE. Il5
la racine, el que ce chiffre est zéro lorsque les dizaines du reste considéré sont inférieures au double de la partie déjà écrite à la racine.
En employant la simplification indiquée déjà ( 48 ), on aonne au calcul la disposition suivante ;
■^ 7-9 i ,29 Il « 1.9 ^
’ T3ÏÏ
206 . Le reste de l’opération ne peut pas dépasser deux fois la racine.
En effet, le nombre proposé N est égal au carré de sa racine A, plus le reste trouvé R. Si ce reste était seulement égal à deux fois la racine plus un, le nombre donné égal à A’ 4- R, serait égal à A* + A A -H I ou à (.A-t- i)’. Sa racine carrée ne serait donc pas A à l’unité près, mais bien A -f- 1; et la crainte d’écrire au résulut un chiffre trop fort en aurait fait écrire un trop faible.
Cette remarque s’applique évidemment aux restes trouvés dans le courant de l’opération, comparés aux nombres déjà, écrits à la racine.
207 . En comparant le reste de l’opération à la racine trouvée, on peut obtenir cette racine à moins d’une demi-unité par défaut ou par excès.
En effet, on a en même temps
N = A=-t-R et =A> + A4-Î-
Si R est <[ A, c’est-à-dire égal au plus à A, on a
N<;^A4-^^ et \/N<A-(-~
A représente alors la racine carrée demandée à moins d’une demi-unité par défaut.
Si R est > A, c’est-à-dire égal au moins à A -f- 1 , on a au contraire
N>^A-t-^y et v/N>A-(-^:
de sorte qu’en prenant A pour la racine, l’erreur par défaut surpasse une demi-unité, et qu’il faut dès lors, pour l’avoir à moins d’une demi-unité, mais pas excès, forcer l’unité sur le résultat trouvé A.
Si l’on cherche la racine carrée de 815718, on trouve 908, et
Il6 AlUTHMé'rlQUE.
le reste est 809 903 ; la racine est obtenue par défaut à une
demi-unité près. Si l’on cherche la racine de 487917, on trouve 698, et le reste est 7i5> 698: la racine à moins d’une deiniunile par excès est 699.
Racine carrée des fractions et des nombres décunanx.
208 . Puisque pour élever une fraction au carré il faut élever ses deux termes au carré ( 160 ), pour extraire la racine carrée d’une fraction carré parfait, il suffit d’extraire la racine
carrée de ses deux termes. Ainsi, la racine carrée de - est
Quelle que soit la fraction proposée on a d’une manière
générale y/ j = le carré de la seconde expression étant
comme celui de la première ( 196 ).
Il est important d’opérer toujours sur des fractions dont le dénominateur soit carré parfait, afin de pouvoir apprécier immédiatement le véritable degré d’approximation. On n’a, pour •y arriver, qu’à multiplier haut et bas la fraction donnée par son dénominateur. Ainsi,
Si l’on extrait la racine carrée de 35 à l’unité près, comme 011 devra diviser le résultat trouvé par 7, on obtiendra la racine
carree de - a - près.
On n’a pas toujours besoin de multiplier la fraction haut et bas par son dénominateur. Si l’on a, par exemple, à extraire la
racine carrée de c’est-a-dire la racine carree de — il 4 o 2" X 5
suffira pour rendre le dénominateur carré (parfait ( 116 ) de
multiplier les deux termes de la fraction par 2X 5 ou 10. On
aura alors
209 . Soit à extraire la racine carrée d’un nombre décimal tel que 325,7 14 - On est d’abord conduit, pour rentrer dans ce qui précède, à faire abstraction de la virgule. On a alors
cl, par suite,
d’où
Pour que la question soit convenablement résolue, il faut qu’on puisse immédiateminenl juger du degré d’approximation obtenu, ce qui exige qu’on ail à diviser parla racine carrée d’une puissance de dix qui soit carré parfait. Or, on peut toujours se placer dans ces conditions en rendant pair, s’il ne l’est pas déjà,
,■* le nombre des chiffres décimaux par l’addition d’un zéro. Dans l’exemple proposé, on remplacera le nombre donné par son équivalent 325,714° et l’on aura alors
\/ 3257 i 4 o v'3257140 v/ioooo *°®
Si l’on extrait la racine de 3257140 a l’unité près, on obtiendra à 0,01 près la racine carrée de 325,7140.
La règle pratique sera donc chiffres
décimaux par un zéro s’il est nécessaire, d’extraire la racine carrée du nombre obtenu à l’unité près, abstraction faite de la virgule, puis de séparer sur la droite de cette racine moitié moins de chiffres décimaux qu’il n’y en a dans le nombre considéré.
L’ordre décimal auquel on arrive ainsi est aussi celui de l’approximation obtenue. On peut mettre une virgule à la racine, dès qu’on abaisse la première tranche décimale.
En général, pour extraire la racine carrée d’un nombre fractionnaire à une approximation décimale donnée, il faut donc réduire l’expression fractionnaire en décimales jusqu’à ce qu’on obtienne deux fois plus de chiffres décimaux qu’on n’en veut à la racine, et appliquer la règle qu’on vient d' indiquer. Nous verrons bientôt qu’on peut pousser beaucoup moins loin la réduction en décimales.
Si l’on veut extraire la racine carrée d’un nombre entier à une approximation décimale donnée, il faut le considérer comme un nombre décimal ( 171 ) contenant deux fois plus de . décimales qu’on n’en veut à la racine; c’est-à-dire qu’il faut écrire à la droite de ce nombre entier autant de tranches de deux zéros que sa racine doit contenir de chiffres décimaux. Dans la pratique, on écrit successivement ces tranches de zéros à côté des restes obtenus, à mesure qu’on en a besoin.
Exemples, i". Extraire la racine carrée de — à o,oi prés.
to
— = 3, 143B à 0,0001 près. La racine carrée de 3 ,i 4 a 8 sera
1 ,77 à 0,01 près et, par suite, 1 ,77 représentera aussi la racine
carrée de — à 0,01 près. En effet, qu’on ajoute ou non à
3,1428 la quantité plus petite que 0,0001 qui lui permettrait
de représenter exactement —1 on ne modifiera en rien le
chiffre des centièmes de la racine (202).
2®. Extraire la racine carrée de 2 à 0.001 près.
2 (Si
On 'trouve ^2= 1 , 4>4 à t millième près par défaut.
Simplification qu’on peut apporter à l'extraction de la racine
carrée.
210 . Lorsqu’on a calculé en général plus de la moitié des chiffres de la racine carrée d'un nombre entier, on peut obtenir les autres chiffres en divisant le reste auquel on s’est arrêté par le double de la partie déjà écrite à la racine, suivie du nombre de zéros qui correspond aux unités quelle représente.
Soit N le nombre proposé, ne faisons d’abord aucune hypo- . thèse sur le nombre de chiffres de la racine. Désignons par a le nombre formé par la partie déjà écrite à la racine, suiyie d’autant de zéros qu’il est nécessaire pour que le premier chiffre de la racine soit au rang qui convient aux unités qu’il représente. Appelons x la quantité quelconque, commensurable ou incommensurable, qu’il faut .ajouter à a pour avoir
Digilized by Goiv’lc
N' — rt= esté\idemmeiU le reste R auquel on parvient, lorsqu'on ees^e de poursuivre le ealcul de la racine suivant le procédé ordinaire. On a donc
d’où
\\ = i.ax ->r x‘,-
— Ji£l
2fl 2rt
Pour que la partie entière de x soit égale au quotient entier R,
^1S4) de — 5 il suffit que l’expression — soit une fraction
CV ^ (.t-
proprement dite ou que la partie entière de soit inférieure à a«. Pour l’affirmer à priori, il faut que la parti(^entière de x‘‘ contienne moins de chiffres que na.
Ceci posé, admettons d’abord que la racine cherchée à l’unité près doive contenir chiffres. Si l’on a trouvé
/i-hi chiffres par le procédé habituel, x n’en contiendra plus que « à sa partie entière; x' en contiendra au plus 2 /i(W)), tandis que a a en contiendra au moins a « + i . Dans ce cas,
— sera une fraction qu’on pourra négliger et, pour avoir la . . < .
