DES GRANDEURS PROPORTIONNELLES OU INVERSEMENT PROPORTIONNELLES

255. Lorsque deux grandeurs varient ensemble de manière que le rapport de deux valeurs numériques quelconques de la première grandeur soit égal au rapport des deux valeurs numériques correspondantes de la seconde grandeur, on dit que ces grandeurs sont proportionnelles.

Ainsi il est de convention que le salaire d’un ouvrier est proportionnel à la durée de son travail.

On démontre en mécanique que l’espace parcouru par un corps doué d’un mouvement uniforme est proportionnel au temps écoulé.

La géométrie prouve que la longueur d’une circonférence de cercle est proportionnelle à celle de son rayon.

256. Lorsque deux grandeurs varient ensemble de manière que le rapport de deux valeurs numériques quelconques de la première grandeur soit égal au rapport inverse des deux valeurs numériques correspondantes de la seconde grandeur, ondit que ces grandeurs sont inversement proportionnelles.

Ainsi, dans certaines limites, on peut admettre que le temps nécessaire pour l’achèvement d’un travail donné est inversement proportionnel au nombre des ouvriers employés.

On démontre en mécanique que le temps employé par un . corps, doué d’un mouvement uniforme, à parcourir un certain espace, est inversement proportionnel à la vitesse constante du mouvement.

La physique prouve que les hauteurs de deux liquides différents se faisant équilibre dans les deux branches d’un vase communiquant, sont inversement proportionnelles aux poids spécifiques de ces liquides.

257. En général, la proportionnalité directe ou inverse des grandeurs résulte d’une convention ou d’une démonstration appartenant à une autre science. 11 est facile cependant de s’assurer arithmétiquement de l’existence de cette proportionnalité directe ou inverse.

I®. Lorsque deux grandeurs sont telles, que, l'une devenant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, l’autre^ devient le même nombre défais plus grande ou plus petite, on peut affirmer la proportionnalité des grandeurs considérées.

Considérons deux valeurs numériques quelconques A et A'

AIIITHMÉTIQL'E. 1 69

de la p^emière grandeur, donl le rapport soit ^ : la première

valeur A sera les -r de la seconde A'.

Considérons les deux valeurs numériques correspondantes B et B' de la seconde grandeur. Si l’on passe de la valeur A' à la valeur 3 A', l’énoncé signifie qu’on passera de la valeur B' à

la valeur 3 B'; et si l’on passe de la valeur 3 A' à la valeur —7-»

on passera de même de la valeur 3 B' à la valeur Mais

représente A par hypothèse; donc la valeur représente la valeur B qui correspond à A. On peut donc écrire

c’est-à-dire qu’on a à la fois

d’où

2 °. Lorsque deux (grandeurs sont telles, que, l’une devenant un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, l’autre devient le même nombre de fois plus petite ou plus grande, on peut affirmer que les grandeurs considérées sont inversement proportionnelles.

Considérons deux valeurs numériques quelconques A et A'

de la première grandeur, dont le rapport soit ^ : la première

valeur A sera les y de la seconde A'.

Considérons les deux valeurs numériiiues correspondantes B et B' de la seconde grandeur. Si l’on passe de la valeur A' à la valeur 3 A', l’énoncé signifie qu’on passera de la valeur B' à

la valeur — et si l’on passe de la valeur 3 A' à la valeur - 7 -» 6 4

on passera de meme de la valeur à la valeur Mais

représente A par hypothèse; donc la valeur -L- représente la valeur B qui correspond à A. On peut, par suite, écrire

lyO AIU'l'HMÉÏIQtE.

c’esl-à-(Uro (lu’oii a à la lois

(l’oii

Règles de trois simples.

258 . On entend par règle de trois simple directe ou inverse, une question dans laquelle il entre quatre quantités deux à deux de même espèce ; l'une est inconnue, il faut la trouver au moyen des trois autres. La condition expresse pour qu’il y ait règle de trois, c’est que" les deux grandeurs qui entrent dans la question soient directement ou inversement proportionnelles.

i”. Si A et représentent les valeprs numériques de la première grandeur, si B et .r représentent les valeurs numériques correspondantes de la seconde grandeur {x est la quantité inconnue), et si l’on suppose la proportionnalité directe des grandeurs considérées, on raisonnera comme il suit :

Si l’on passe de la valeur A à une valeur A fois plus petite, c’est-à-dire égale à i, B passera de la valeur B à la valeur

[ 257 , 1“]. Si l’on passe de la valeur ^ ou i à la valeur A',

un passera de la valeur j- à la valeur -r X A', c’est-à-dire qu'on A A

aura, puisque x correspond à A',