XA

Il faut donc chercher la valeur numérique de même espèce que l’inconnue, pour une valeur de l’autre grandeur égale à l’unité ; puis multiplier le résultat obtenu par la valeur connue d’espèce différente qui correspond à l’inconnue : c’est en cela que consiste la méthode dite de réduction à l’unité.

E.vemple. Une usine a consommé 17000 kilogrammes de charbon pour produire 6285 kilogrammes de fonte ; quelle quantité de charbon faudrait-il brûler pour produire 11812 kilogrammes de fonte’?

J’admets la proportionnalité des grandeurs qui entrent dans la question, et je cherche la quantité de charbon qui correspond à la production de i kilogramme de fonte. 6285 kilogrammes de fonte correspondent à 17000 kilogrammes de

charbon, 1 kilogramme de fonte coirespondra à ■ '? kilo-

ARITBMÉTIQVE. l'Jl

grammes de charbon. Par suite, 11812 kilogrammes de fonte

exigeront X 11812*' de charbon, c’est-à-dire 31949.

2”. Si A et A' représentent les valeurs numériques de la première grandeur, si B et x représentent les valeurs numériques correspondantes de la seconde grandeur (a: est la quantité inconnue), et si l’on suppose la proportionnalité inverse des grandeurs considérées, on raisonnera comme il suit :

Si l’on passe de la valeur A à une valeur A fois plus petite, c’est-à-dire égale à 1, B passera de la valeur B à la valeur

Bx A (257, 2®). Si l’on passe de la valeur ou i à la valeur A',

B X fV

on passera de la valeur B x A à la valeur — — — ; c’est-à-dire

qu’on aura, puisque x correspond à A,

BxA

Il faut donc chercher la valeur numérique de même espèce que l’inconnue, pour une valeur de l’autre gratuleur égale à l’unité ; puis diviser le résultat obtenu par la valeur connue d’espèce différente qui correspond A l’inconnue.

Exemple. 11 a fallu 1 5 jours à 22 ouvriers pour faire un certain travail ; combien en aurait-il fallu à 3^ ouvriers?

.l’admets la proportionnalité inverse des grandeurs qui entrent dans la question, et je cherche le temps nécessaire à un seul ouvrier pour exécuter le travail donné. 11 a fallu i5 jours à 22 ouvriers; il faudra i5x 22 jours à 1 ouvrier. Par suite le

temps nécessaire à 87 ouvriers sera égal à à 81,9.

jours ou

Grandeurs proportionnelles ou inversement proportionnelles à plusieurs âiftres grandeurs.

25i). Une grandeur dépend le plus souvent, non d’une seule grandeur, mais de plusieurs autres grandeurs. Lorsqu’on dit, dans ce cas, que la grandeur considérée est proportionnelle ou inversement proportionnelle à une autre grandeur, on sousentend que les autres grandeurs qui la font varier consyvent alors la même valeur. * •

Ainsi, dire que le poids d’une barre de métal est proportionnel à la densité de ce métal, c’est sous-entendre que les dimensions de la barre restent constantes quand on passe d’un métal à un autre.

Le problème qui se présente est celui-ci : On connaît une

série de valeurs numériques correspondantes des grandeurs considérées ; on connaît en outre les variations de ces valeurs numériques pour un nouvel état de la question, sauf une seule qu’il s’agit de découvrir.

Désignons parles symboles généraux M, A, B, P,Q, les grandeurs considérées : M est supposée proportionnelle à A et B, Inversement proportionnelle à P et Q. Désignons par m,«, b,p, q, la série connue des valeurs numériques correspondantes de ces grandeurs. Sachant que a, b,p, q, deviennent a', b',p', q', on demande la valeur x qui, dans cette nouvelle série, doit remplacer m.

Nous généraliserons la méthode de réduction à l’unité.

Si l’on passe de la valeur « à la valeur i sans faire varier b,

p,q, on passera de la valeur m à la valeur ^ (258, i"). De même

si l’on passe ensuite de la valeur fr à la valeur i sans faire varier les autres valeurs t,p,q, on passera pour la grandeur M de la valeur — à la valeur - > - • Enfin si l’on passe successivement

des valeurs et ^ à la valeur 1 , en ne faisant varier à la fois qu’un seul élément, on passera successivement, pour la grandeur M, de la valeur — à la valeur ^ » et de cette

aX b aX b

valeur à la valeur ^ ^ ^ ^ (258, 2 “).

On a donc trouvé la valeur numérique prise par la grandeur M, lorsque toutes les autres grandeurs deviennent égales à l’unité.

En suivant la même marche, on verra que ces valeurs égales à l’unité devenant, successivement et une par une, égales au', b',p' , q', la grandeur M prendra aussi successivement les valeurs

mXpXqXa' mXpXqXa'xb' mXpXq Xa'Xb' aXb ’ a X ’ axbxp'

mXpX g Xa'X b' aX b X p' X ■q'

On aura donc finalement

m XpXqXa'X b'

aXbxp'Xq'

vale*#l|u’on peut écrire

x—mx — XxX-^X^’

et qui conduit à une règle générale dont nous dévelo|iperons l’énoncé en algèbre. Il nous suffit d’avoir indiqué le procédé à suivre au point de vue arithmétique.

Règles de trois composées.

260 . On entend par de trois compos’ée une question dans laquelle il entre un nombre pair de quantités deux à deux de même espèce. Une de ces quantités est inconnue; il faut la trouver au moyen de toutes les autres. La condition expresse pour qu’il y ait règle de trois composée est celle-ci fil faut que la grandeur de même espèce que l’inconnue, comparée successivement à toutes les autres grandeurs considérées. une à une, soit proportionnelle ou inversement proportionnelle à ces grandeurs. l.e numéro précédent donne la solution générale des règles de trois composées.

Exemple. Il faut i 5 quintaux de foin pour nourrir ii chevaux pendant 21 jours; combien la nourriture de 17 chevaux pendant 35 jours exigera-t-elle de quintaux de foin ?

Plus il y a de chevaux, plus il faut de quintaux ; plus il s’écoule de jours, plus il faut de quintaux : la question est donc bien une règle de trois composée.

Si l’on avait <à nourrir un seul cheval pendant 21 jours, il i 5

ne faudrait que — quintaux; si l’on ne devait le nourrir qu’un

seul jour, il faudrait seulement

quintaux. Si l’on a

maintenant 17 chevaux à nourrir, le nombre de quintaux con-

sommes en un jour sera j , x 2 1 jours il en faudra

261 . Il faut bien remarquer que, pour employer la méthode de réduction à l’unité, les grandeurs considérées doivent être proportionnelles ou inversement proportionnelles. Si l’on po.se cette question : Un corps qui tombe a parcouru en 5 secondes 122", 61 ; quelle distance parcourra-t-il en 10 secondes? L’espace parcouru ne croit pas, dans ce cas, proportionnellement au temps écoulé : les éléments indiqués ne peuvent faire partie d’une règle de trois. Il faut interroger la mécanique, qui apprend que la proportionnalité existe, non entre les hauteurs parcourues et les temps écoulés, mais bien entre ces hauteurs et les carrés des temps correspondants, et qui résout la question plus simplemeut à l’aide d’une formule directe.

EXERCICES

1 . Avec 312'^*, 5 de fil , on a fabriqué une toile de 1219 mètres de longueur sur 3", 85 de largeur. Quelle sera la longueur d’une toile de a mètres de largeur fabriquée avec 1 82 kilogrammes de fil ?

1^4 AKITHMÉTIQIE.

II. Un équipaj^c n a plu.s que [jour ?.o jours de vivres; il doit encore tenir la mer pendant 35 jours. Dans quelle proportion doit-on réduire les rations quotidiennes?

ni. Une machine à vapeur dépense i 545 kilogrammes de charbon en 76 jours. Un perfectionnement apporté à la machine réduit la dépense à 348 kilogrammes pour 28 jours. On demande l’économie annuelle due au perfectionnement, sachant que la machine marche 33 o jours par an et que le prix du quintal de charbon est 3 '', y 5 .

IV. Un parallélipipède rectangle de glace ayant pour dimensions 12“, 25 , 18", 3 o et 24“, 40, Ootte sur la mer. On demande sa hauteur au-dessus du nivcÆu, sachant que le poids spécifique de la glace est 0,930 et celui de l’eau de mer i ,026. On calculera les trois solutions possibles.