PROBLÈMES
Règles d’intérêt simple. ^
262. Une somme d’argent quelconque s’appelle capital. Lorsqu’on emprunte un capital, on indemnise le préteur en lui payant tous les ans un certain intérêt. Pour fixer cet intérêt, on indique ce que rapporte le capital cent francs, placé pendant un an dans les mêmes conditions que le capital considéré : c’est ce qu’on nomme le taux de l’intérêt.
Pour un capital donné, l’intérêt est proportionnel au taux choisi et au temps écoulé. Si l’on propose de trouver cet intérêt, la question revient donc à une véritable règle de trois composée qu’on peut formuler ainsi : 100 francs rapportent, je suppose, 5 francs en 12 mois; quel intérêt rapportera, par exemple, le capital i58o.5 francs en 7 mois?
Nous allons parcourir les quatre problèmes auxquels peuvent donner lieu les questions d’intérêt; et, comme exercice, nous les résoudrons successivement par la méthode de réduction à l’unité : la formule générale à employer sera donnée plus loin. Remarquons que, pour un intérêt donné, le capital, le temps et le taux, sont des grandeurs inversement proportionnelles: si le capital est double, il aura besoin d’être placé deux fois moins de temps pour rapporter le même intérêt, etc.
263. I®. Quel est l’intérêt produit par un capital de i58a5 fr., placé à 5 pour 100 pendant 7 mois.^
En un an, 100 francs rapportent 5 francs; dans le même
temps, i franc rapportera donc o,o5 ; et, en un mois, seule-
ment Le capital iSSaS francs rapportera donc en un mois
o,o5xi5825 . o,o5xi5825X7 ,r
et, en 7 mois, ou 46' >5 d 25.
2°. Trouver le capital qui, placé à 5 pour 100, pendant 7
mois, a rapporté un intérêt égal à 461 '^'',56 2 S.'’
5 francs d’intérêt en un an correspondent au capital 100 francs;
I franc d’intérêt, en un an, correspondra au capital Si le
capital reste seulement placé un mois, il devra être 12 fois plus
grand pour rapporter le même intérêt : il sera donc 122 ^—.
Le capital qui, au lieu de 1 franc, rapporte 46i^%5625 en un
mois sera donc = ; et s il reste placer mois.
il sera seulement
3”. Un capital de i 5 S 35 francs, placé à 5 pour 100, a rapporté un intérêt de 461 ^'',5625; combien de temps est-il resté placé? Pour rapporter i franc d’intérêt, 100 francs doivent êtré^la-
cés 5 fois moins de temps, c’est-à-dire -y i franc, pour rapporter le même intérêt, devra être placé 100 fois plus long-
temps, c est-a-dire g Le capital i5825, pour rapporter
cet intérêt, devra être placé i5825 fois moins de temps ou
et, pour rapporter 401 ,5o25, un temps. représente
1 2 X 1 00 X 46 < , 5635 5-3rT58^5 0^^ 7 mois.
4°. Un capital de i58a5 francs a rapporté 461 '^'■,5625 en 7 mois; à quel taux était-il placé?
i5825 francs ont rapporté 461 ^'^,5625 en 7 mois, c’est-à-dire
en un mois. 1 franc rapportera ,0 , dans le
7 qyt. i5825
meme temps. 100 francs rapporteront donc ka ' k —
dans le meme temps et, en 12 mois, = 5.
Si l’on prenait le jour ou l’année au lieu du mois, pour unité de temps, on raisonnerait d’une manière tout à fait analogue.. Dans le commerce, on compte les mois de 3o jours, et l’année de 36o jours. En justice, cette réduction n’est pas ad-
iy6 ARITHMÉTIQDE.
mise. Nous indiquerons en algèbre la formule générale qui rend tous ces calciîls plus rapides.
Questions sur les rentes.
264. Lorsqu’un gouvernement fait un emprunt, il peut opérer de deux manières ; indiquer d’avance l’intérêt qu’un capital donné rapportera, ce qui est le mode le plus rationnel; ou bien, indiquer seulement l’intérêt promis en omettant le véritable capital correspondant et en le remplaçant par l’indication d’un capital fictif: c’est la marche généralement suivie pour les emprunts publics.
Ainsi, on emprunte loo millions à 3 pour loo : cela veut dire qu’on constitue aux prêteurs 3 millions de rentes annuelles; car 100 est contenu un million de fois dans loo millions. Mais cela ne signifie pas que l’État recevra réellement en échange un capital de loo millions. Si la situation du crédit est telle, au moment de l’emprunt, qu’on puisse retirer plus de 3 francs d’intérêt d’un capital de loo francs, le gouvernement sera forcé de recevoir, pour l’intérêt de 3 francs, un capital inférieur à loo francs. Il exigera donc, suivant les circonstances 8o, 76, 7o#ancs. Dans le second cas, par exemple, le prêteur ne placera pas son argenta 3 pour 100, mais bien à 4* car donner 75 francs de capital pour 3 francs d’intérêt, c’est donner 25 francs pour i franc d’intérêt, et 100 francs pour 4 francs d’intérêt. C’est pour cette raison que, dans les titres ou inscriptions de rentes sur l’État, le capital n’est pas énoncé, mais seulement l’intérêt.
Les rentes sur l’État, les actions et obligations de chemins de fer, etc., se négocient tous les jours à la Bourse. La valeur du capital correspondant varie continuellement suivant les circonstances, les bruits de toute nature, les prévisions des Joueurs, etc. Cette valeur spéciale et journalière s’appelle le cours ou la cote de l’effet public considéré.
265. Tous les problèmes qu’on peut se proposer sur les effets publics sont de simples règles de trois. Nous en donnerons quelques exemples.
I®. On veut placer 60000 francs en rentes 3 pour 100; le cours actuel de la rente 3 pour 100 étant 7 1 ,25, quelle inscription devra-t-on recevoir?
Dire que le cours de la rente 3 pour 100 est 71 ,25, c’est dire que ce capital correspond à 3 francs de rente. La question revient donc à celle-ci : 25 correspondent à 3 francs de rente,
60000 francs correspondront à une rente x. Les capitaux et les rentes sont des grandeurs proportionnelle.s. i franc rapportera
AlUTHMériQUE.
3fr 3fr
Jonc = et tioüoo francs ranporlcront = X Joooo ou
2“. Le 4 pour loo est au cours de 84^'', 25 ; le 3 pour 100, au cours de 69'^'', i 5 ; quel est le placement le plus avantageux au point de vue des intérêts produits ?
Si 4 francs correspondent au capital 84,25, 1 franc d’inlérèl
sera produit par le capital 2i’''‘', 0625.
Si 3 francs correspondent au capital 6g, i5, i franc djiuérêl -
sera produit par le capital — = 23‘^''jo5.
Il vaut mieux acheter de la rente 4 pour 100.
Ses assurances.
26G. On appelle assurance un contrat par lequel, moyennant une prime convenue, un objet déterminé se trouve pour un temps limité garanti ou assuré contre tout risque extérieur. On assure une maison, un mobilier, des récoltes, etc., contre l’incendie ou la fondre ou la grtMe. Le contrat passé entre l’assureur et l'assuré, ou police d’assurance, est signé d’avance et la prime est calculée à tant pour 100 de la valeur de l’objet, d’après les données de l’expérience. Les mêmes sinistres se reproduisent périodiquement, pourvu qu’on considère un temps assez long qui permette aux inégalités de détail de se perdre dans l'ensemble. Le nombre des naissances, celui des décès, des mariages, la quantité des eaux pluviales, la température moyenne, etc., sont, dans un pays donné, des quantités approximativement fixes, lorsqu’on considère une certaine période partagée en intervalles égaux d'une durt'o convenable.
Supposons qu’il soit prouvé parles faits que, sur 586 navires baleiniers, 8 se sont perdus en 4 ans. Prenons ce résultat pour moyenne des pertes. Si 8 navires se perdent sur 586, il s’en
perdra i sur -g- ou 1 sur 73,2.5. On prendra donc 74. Faisant
abstraction de.toute chance heureuse ou malheureuse, on posera en principe que, sur 74 navires, il s’en perd toujours 1. Sur le capital engagé, l’assureur devra donc prélever d'abord
une prime égale à
ce qui revient à i,36 pour loo; mais il
doit s’indemniser aussi des frais d'administration et jouir d’un certain bénéfice. La prime pourra alors être réglée à 4 pour loo. Les bénéfices de l’assureur ne sont plus exposés au hasard, et l’assuré, en sacrifiant une petite partie de ceux aux(|iiels il a
droit, les rend tout à fait certains. Le calcul se réduit à chercher l’intérêt à 4 pour loo du capital engagé dans l’entreprise maritime.
Rien de mieux entendu et de plus utile que les assurances. Il est à désirer que le gouvernement les élève à la hauteur d'une institution. La prime des assurances contre l’incendie, contre la grêle, etc., se calcule de la même manière, en ayant toujours égard à l’observation des événements malheureux dans un temps donné.
Règles d'escompte.
267. Dans le commerce, on paye rarement comptant les objets livrés; on solde ses achats au moyen d’un billet ou effet, payable à une époque déterminée qu’on nomme échéance du billet.
Si l’on a besoin d’argent avant l’échéance, il faut passer le billet à un banquier qui en acquitte le montant, sauf une retenue à son profit. Cette opération et la retenue correspondante portent le nom d’escompte.
11 y a deux sortes d’escomptes ; l’escompte endehors,\e seul usité en France, et l’escompte en dedans souvent employé à l’étranger.
Prendre l’escompte en dehors d’un billet, c’est retenir l’intérêt rapporté par la somme marquée sur le billet, pendant te temps qui doit s’écouler jusqu’à l’échéance. Le possesseur du billet reçoit seulement la différence entre le montant du billet et l’intérêt ainsi calculé.
Exemple .• Trouver l’escompte en dehors d’un billet de i5ooo francs, payable dans 3g jours, le taux de l’escompte étant fixé à q , 5 pour loo.
En I jour, loo francs rapportent d’après l’énoncé et
1 franc, • Par suite, iSooo francs en 89 jours rapporteront
36ooo ’ ^
L’escompte du billet sera donc i2if%875 et le banquier ne payera que 14878^'', 125.
268. L’escompte en dedans consiste à retenir seulement les intérêts de la valeur actuelle du billet. Un billet de 3ooo francs, payable dans 3 mois, ne vaut pas aujourd’hui 3ooo francs : il ne les vaudra que dans 3 mois. Sa valeur actuelle est la somme qui, augmentée de ses intérêts pendant 3 mois, représente précisément 3ooo francs.
Il est évident que le montant d’un billet, sa valeur actuelle,
XRITHMÉTIQI'E. . lyg
son escomple en dedans ou l iniérêt correspondant à sa valeur actuelle, sont, toutes choses égales d’ailleurs, des quantités proportionnelles. La question est donc une simple règle de trois.
Exemple : Calculer l'escompte en dedans d’un billet de 1 5ooo francs, payables dans 3g jours, le taux de l’escompte étant fixé à ’] ,5 pour loo.
loo francs rapportent en un an ; ils rapporteront
~ 3g jours, et i franc rapportera dans les mêmes
3oo
conditions Par suite, le problème est celui-ci : Un
billet de i -l- correspond a un escompte de
36ooo 3oooo
un billet 'de i5ooo francs correspondra à un escompte x. Les
quantités considérées étant proportionnelles, on aura
T ,5 X 3q i5ooo X
i5ooo X , 3booo
= =- = — = =-> d ou x= P - ^
36ooo 36ooo 36ooo
d’où .r =
36ooo
36ooo
En multipliant haut et bas par 36ooo, on a
i5ooo X 7,5 X 3g „
36ooo -H 7 ,5 X 3g
L'escompte du billet sera donc i2o^',8g3 et le banquier ne payera que i487g^*', 107.
La différence avec l’escompte en dehors est ici de of‘,g82.
La différence entre les deux escomptes est facile à formu- " 1er. Le montant du billet est égal à sa valeur actuelle plus l'escompte en dedans. Pour avoir les intérêts de ce montant ou l’escompte en dehors, il suffit donc d'ajouter aux intérêts de la valeur actuelle, c’est-à-dire à l’escompte en dedans, les intérêts de ce même escompte. C’est ce qu’on peut vérifier sur l’exemple précédent.
Nous indiquerons en algèbre la formule générale de l’escompte en dedans et de la valeur actuelle d’un billet donne. L’escompte en dedans semble plus équitable; du reste, la différence entre les deux escomptes est ordinairement trèsfaible. ■
Partages proportionnels.
269. Partager un nombre donné en parties proportionnelles . à d’autres nombres donnés, c’est vouloir que les rapports de chaque partie nu nombre correspondant soient égaux.
l80 , ARITHMÉTIQUE.
Ainsi, partager A en parties x, x’, x", proportionnelles aux nombres 3, 5, 7, c’est vouloir qu’on ait
Mais nous savons (1G5) que lorsque plusieurs rapports sont égaux, le rapport formé en divisant la somme de leurs numérateurs par la somme de leurs dénominateurs, est égal à ctiax‘~\~~ x^ I ^
cun d’eux. Le rapport -= f; ou est donc égal
au tiers de x ou au cinquième de x' ou au septième de x". On fera par suite la somme des nombres proportionnels, on divisera A en autant de parties égales que cette somme contiendra d’unités; trois de ces parties formeront x, cinq formeront x', sept formeront x". •
270. Les règles de société sont une application des partages proportionnels. En effet, lorsque plusieurs personnes s’associent pour former une entreprise, on convient généralement de partager les bénéfices proportionnellement aux mises des associés. Si les mises ne restent jias placées pendant le môme temps, on partage les bénéfices proportionnellement aux produits des mises par les temps qui leur correspondent.
Exemple : 4 associés ont placé dans une entreprise : le premier 24000 francs pendant 4 ans, le second \5ooo françs pendant 3 ans, le troisième 36ooo francs pendant i an, le quatrième Goooo francs pendant 6 mois. Le bénéfice est de 5']8oo francs. , On le partagera proportionnellement aux produits 3.4000 X 4 >
iSooo X 3, 36000 X i, 60000 X -5 c’est-à-dire aux nombres /
()6ooo, 45ooo, 36000 et 3oooo ou 32, i5, 12 et 10. En désignant les parts par x', x", x'", x", on aura
X 12 = 10052*, 16, x "'=-^—, — ~ — : — — Xio= 8376*, 82.
QC
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La somme des parts doit reconstituer, comme vérification, le bénéfice total 67800 (*).
(*) L’hypolhèse de la proporlionnalité des parts aux produits des mises par les temps^ est basée sur la convention toute naturelle que, pour des temps
‘ Lîigiézed by Googic*
ARITHMÉÏIQI'E.
Questions sur les mélanges et les alliages.
271 . On peut se proposer sur les mélanges deux questions très-différentes, i® On peut donner les quantités A mélanger et les prix qui correspondent à leurs unités, on cherche alors le prix total du mélange. 9." On peut donner le prix total du mélange et les prix des unités, on cherche alors dans quelles proportions les quantités correspondantes doivent être mélangées.' Cette seconde question est en réalité du ressort de l’algèbre, et elle est évidemment indéterminée dès qu’on considère plus de deux quantités d’espèce différente.
Exemple : On mélange M devin à ,Bo le litre ; 6o' de vin ù le litre ; i lo' <1 o *^'',85 le litre, on demande le prix du
litre du mélange. .
8o' à o'^'', 5 o valent 8o X o, 5 o = x.
6o à O ,70 valent 6o X 0,70 = 4 ^
^ 110 à O ,85 valenli 10 X 0,85 =g 3 , 5 o
Les aSo' du mélange vaudront donc 175'^'', 5 o. Par suite, 1’ du I ”5 5 o
mélange vaudra —‘— 2 - —
Exemple : On a 3 lingots d’argent, le premier au titre de o,g 5 o et pesant’ 8'‘'; le second, au titre de 0,820 et pesant i 5 ^‘; le troisième, au titre de 0,750 et pesant n^', 5 . On demaïute le titre du lingot obtenu en fondant ensemble ces 3 lingots.
8*^' à 0,950 de fin renferment 8 '‘® X 0,950 ou 7*'',Goo d’argent pur.
i5'“ à 0,820 renferment r 5 '‘‘X 0,820 ou 1 2''*, 3 oo d'argent pur.
I i'‘',5à 0, 750 renferment i i''', 5 X 0,750011 8*‘®, 62.5 d’argent pur.
Le lingot résultant de la fonte pèse donc 34'‘‘,5 et contient
égaux» les paris doivent être proporlionnelles aux mises cl, pour des mises égales, proportionnelles h la duree du placement. Dos lors, a dû' rcju-éseiitant deux parts quelconques, hcib\ cric', les mises et les lomp.s correspondants, on trouvera ( ‘259 )
rt' = fl X T X -*
d'où
fl'
î.os parts fttuildonc l»ien alors proportioimclles aux produits des mise.< |.ar les temps.
iSj
AKITHMÉTIQUE.
28‘‘,525 d’argeiil pur. Son titre sera donc égal (2V7) à
