Exemple. On a deux lingots d’argent, l’un au titre de
0, g5o, l’autre au titre de 0,820, dans quelle proportion faut-il les mélanger pour obtenir un alliage au titre de O, ■
Si, au lieu d’un kilogramme de l’alliage cherché, on prenait
1. kilogramme du premier lingot, l’erreur en plus sur le titre serait de 0,960 — 0,900=0,060. Si la quantité choisie du premier lingot n’est plus égale à i*‘‘, mais à la fraction a:^‘, l’erreuren plus sera JT X o,o5o.
De même, si au lieu de i kilogramme de l’alliage cherché, on prenait i kilogramme du second lingot, l’erreur en moins ^ serait de o,goo — 0,820=0,080. Si la quantité choisie du second lingot n’est plus égale à i*“, mais à la fraction l’erreur en moins sera jx 0,080.
Pour qu’il j ait compensation, c’est-à-dire pour que le kilogramme de l’alliage soit au titre de 0,900, il faut que les erreurs en [dus et en moins soient égales et, par suite, qu’on ait
on en déduit
ün doit donc former 1 kilogramme de l’alliage projeté, de deux fractions x et j des lingots considérés, inversement proportionnelles aux différences o,o5o et 0,080 qui existent entre le titre moyen et chacun des titres donnés; c’est-à-dire que x, quantité du premier lingot, doit correspondre à la différence entre le titre moyen et le titre du second lingot, et que y, quantité du second lingot, doit correspondre à la différence entre le titre du premier lingot et le titre moyen.
Remarquons que la somme des fractions x et est supposée égale à i kilogramme. La question est donc ramenée à partager un nombre donné en parties proportionnelles à des nombres (formés. On peut remplacer le rapport par le rap-
port (fn aura alors (269)
r—. „ ' . X 8 et r- pX 5 ,
c’est-à-dire
X = cl >• = .
AIUTHMÉTIQUE.
La fraction ^ revient à o,6i54 et la fraction ^ à o,3846. On
prendra o‘‘,6i54 du premier lingot et o^‘,3846 du second, pour former 1 kilogramme de l’alliage.
273. Voyons, maintenant comment on peut opérer dans le cas où l’on a à considérer plus de deux quantités, et supposons le problème suivant.
Exemple : Un boulangera trois espèces de farines, la première à o^’’,4o le kilogramme, la seconde à o'^',5o le kilogramme, la troisième à o*',55 le kilogrammex Dans quelles proportions doit-on opérer le mélange de ces trois farines pour que le kilogramme du mélange coûte o^’’,45?
La question est indéterminée ; c’est ce que montrera la marche que nous allons suivre pour trouver l’une des solutions du problème.
On prendra un prix intermédiaire entre le premier prix et le prix moyen o^'',45 ; par exemple, le prix et l’on
cherchera dans quelle proportion il faut mélanger la première et la seconde espèce de farine^our que le prix moyen du mélange auxiliaire ainsi formé soit égal à o'’'',43. En appelant x et y les fractions de kilogramme à mélanger, pour avoir i'“du mélange, on pourra poser, d’après ce qui précède,
On devra donc partager i en parties proportionnelles à 7 et 3, c’est-à-dire que x sera égale à o ^',7 et j à o^‘,3.
On cherchera ensuite dans quelle proportion il faut mélanger la farine résultant du premier mélange et celle à pour que le prix moyen atteigne la valeur demandée o^'',45.
En appelant ^ et « les fractions de kilogramme du premier mélange et de la troisième espèce de farine, qui doivent composer le kilogramme du mélange cherché, on aura
On devra, par suite, partager i en parties proportionnelles à 5
et I, c est-a-dire que 2 sera égalé a -g- et «
11 faut, pour terminer, calculer les quantités des deux premières espèces de farines qui doivent composer 2 . Si a était égale à il y entrerait o ‘*, 7 ào’'',4o et o*‘‘,3 à o’^‘‘,5o; z étant 5*‘‘ 5^*
égale à il y entrera Xo ,7 = o’‘»,583 de larine à o^'^,4o
5kt
et X 0,3 = o'“,25o de farine ào^'^,5o.
l84 AniTHMÉTIQCE.
En résumé, on répondra à la question, en rormant chaque kilogramme du mélange de
de farine à </', 4 o
ou O ,167 a O ,55
j'"',ooo
La question est bien indéterminée; car si nous changions le prix moyen auxiliaire o,43. dont la valeur est arbitraire, nous arriverions à une nouvelle solution.
Régie coit^ointe.
274. On appelle ainsi 'un problème dans lequel deux quantités principales sont liées entre elles par une série de rapports connus, qui permettent de les déduire l'une de l’autre. Deux exemples suffiront pour indiquer la marche à suivre.
Exemple : On demande combien 1 1 3 pieds anglais valent de mètres, sachant que 16 piedt anglais valent i5 pieds français, et que ^ pieds français valent i",3.
Puisque 4 pmds français valent i“,3, la valeur de i pied
français sera
16 piedg anglais valant i5 pieds français.
I pied anglais vaudra de pied français et, par conséquent.
Enfin, ii3 pieds anglais vaudront ii3 = 34«,53.
TfiX-
Exemple : On demande en francs la valeur de 100 pistoles d’Espagne, sachant que 4 piastres iraient i pistole et que i /)/««ire vaut 5^' ,^o.
Puisque i pistole vaut 4 piastres et que i piastre vaut 5^’',4o, I pistole vaut 5f%4® X 4 ou 100 pistoles valentS^'', 4 ® X 4 X 100 ou 2 I 6 o*^^ Quand il s’agit du change des monnaies, la règle conjointe prend souvent le nom iV arbitrage.
Questions diverses.
275. Payer C)5 francs avec 28 pièces, les unes de 5 francs, les autres de 2 francs.
Pour résoudre cette question, nous ferons une hypothèse arbitraire sur le nombre de pièces de 5 francs nécessaire. Supposons qu'on prenne i5 pièces de 5 francs ; il restera à prendre 28 — 15 ou i3 pièces <le 2 francs. I.a somme formée
AH1TIIMÉT1QIE. l 85
sera égale à i 5 x 5 -|-i 3 x 2 ou loi francs: elle surpasse 1)5 francs de 6 francs. On remarque alors que, si l’on remplace une pièce de 5 francs par une pièce de i francs, on diminuera de 3 francs la somme formée. 11 faut diminuer la somme loi de 6 francs. Par suite, en divisant par 3 la différence 6, le quotient a indiquera qu’il faut remplacer 2 pièces de 5 francs par 2 pièces de 2 francs, c’est-à-dire prendre i 3 pièces de 5 francs et i 5 pièces de 2 francs.
276 . Une peisonne a souscrit trois billets, le premier de' 800 francs payable dans 5 mois, le second de 2000 francs payable dans 8 mois, le troisième de 5 oo francs payable dans i4 mois : elle veut les remplacer par un seul billet à l’échéance de 1 1 mois ; on demande le montant de ce billet, le taux de l’intérêt étant 5 pour 100.
Si le premier billet de 800 francs n’est pas acquitté au bout
de 5 mois et si la dette correspondante n’est couverte qu’au
bout de 1 1 mois, on doit tenir compte au créancier des intérêts
de 800 francs pendant 1 1 — 5 ou 6 mois. Ces intérêts sont
Si le second billet de 2000 francs n’est pas acquitté au bout de 8 mois et si la dette corréspondante n’est couverte qu’au bout de 1 1 mois, on doit tenir compte au créancier des intérêts de 2000 francs pendant 11 — 8 ou 3 mois. Ces intérêts sont 2000 X 5 X 3 20 X 5 .
Enfin, la dette représentée par le troisième billet de 5 oo francs, étant acquittée 3 mois plus tôt, je créancier doit au contraire tenir compte au débiteur de ce pà^vcinent anticipé, en recevant au lieu de 5 oo francs la somme qui, augmentée de sesinterèts pendant 3 mois, forme 5 oo francs. Si l’on divise 5 oo francs par \ franc augmenté de ses intérêts pendant 3 mois, on aura nécessairement la soriime cherchée. 1 franc en 3 mois
, , ... Il- • o,o 5 X 3 o,o 5
rapporte, dans les conditions de 1 énoncé, .■■ = — . ;
et l’on aura 5 oo : ( • + = 5 oo
oo
ce qui revient a
ou à 493^'’, 827.
Le niontaiU du billet à l’écliéance de 11 mois dc\ra donc sc composer des sommes 800 20 ou 820, 2000 -1- 2.5 ou 2026
et 493,827. Ce montant sera, par conséquent, 3338^'',827.
277 . l n arrondissement , composé de 4 cantons, doit fournir soldats. Les populations des 1 \ cantons sont respectivement : habitants, 4'’827 habitants, habitants.
19813 habitants. On demande de répartir le contingent à fournir d après la population, aussi équitablement que possible.
Il faut partager 21 5 en parties proportionnelles aux nombres
d’habitants donnés. On trouve ainsi :
pour le !''■ canton 69,1
pour le 2' canton qS,i
pour le 3' canton 44>*>
pour le 4' canton. 36,5'
La répartition ne pouvant avoir lieu qu’en nombres entiers, on demandera respectivement aux 4 cantons, 69 hommes, 75 hommes, 44 hommes, 36 hommes, en tout 214. Il restera donc X conscrit à demander en plus à l’un des 4 cantons. Il semblerait au premier abord que c’est-le quatrième canton qui doit le fournir, parce que c’est pour ce canton que la partie décimale négligée est la plus considérale. Mais on ne tiendrait pas compte ainsi du nombre des habitants. Il faut chercher l’augmèntation absolue que subit le résultat trouvé lorsqu’on prend pour chaque canton un soldat de plus, et la comparer au nombre d’habitants du canton. Le canton pour lequel on trouvera ainsi le plus petit quotient devra évidemment fournir un soldat de plus.
Les résultats 60, 76, 45, 37, correspondent aux augmentations absolues 0,9, 0,8, X, 0,5, et l’on a
La plus petite augmentation relative “correspond au second canton. La répartition la plus équitable consistera donc à demander 59 hommes au t"" canton, 76 au 2', 44 au 3' et 36 au 4'.
Nota, Nous renvoyons à VAnnuaire du Bureau des Longitudes pour toutes les tables concernant les anciennes mesures de France et les mesures étrangères, comparées aux nouvelles mesures do France.
