L’usage des formules offre en outre ce précieux avantage

igo ALGÈBRE ÉLÉMERTAIRE.

de résumer aussi nellement el aussi simplemenl que possible les relations qui peuvent exister entre les quantités considérées, de manière à faire apercevoir immédiatement des rapprochements que le raisonnement aurait eu quelquefois peine à découvrir. De plus, si les inconnues et les données se transforment les unes dans les autres, les mêmes formules sont encore applicables, pourvu qu’on y effectue les mêmes transformations.

Ainsi, l’équation du mouvement uniforme étant

si la vitesse devient l’inconnue, on en déduit

et si le temps à son tour doit être déterminé, la même formule donne encore

Nous démontrerons plus loin qu’un cercle a pour expression un nombre constant jt, multiplié par le carré R’ de son rayon R ; de sorte qu’on peut écrire, pour deux cercles quelconques de rayons R et R',

cercle R = tt x R’ et cercle R' = jr x R".

On en déduit à l’instant

cercle R jD

cercle R' R"

Si dans le second problème traité plus haut (3), on donne le temps nécessaire à la première fontaine coulant seule pour remplir le bassin, ainsi que le temps nécessaire auX deux fontaines coulant ensemble pour remplir le même bassin, et qu’on demande pendant combien d’heures la seconde fontaine devra être ouverte pour produire aussi ce résultat, il suffira dans la

formule x = regarder x comme une quantité donnée

et h comme la quantité inconnue. On en déduira alors sans peine

ax-^hx = ah, ah — bx = ax, (a — x)b — ax.

et enfin

ÀLGÈBRE ÉLÉMEMTAIBE.

Des signes et des expressions algébriques.

5. On indique l’addition et la soustraction par les mêmes signes qu’en Arithmétique.

On indique la multiplication par le signe X ou par un ' simple point placé entre les quantités à multiplier; ou mieux encore, on les écrit à la suite l’une de l’autre sans l’interposition d’aucun signe. Ainsi, les expressions a X b, a. b, ab, sont équivalentes.

Quand il y a un facteur numérique, on a soin de l’écrire le premier, et il prend alors le nom de coefficient. Si l’on donne l’expression n.b.S.c.'], comme on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué et les ranger dans l’ordre qu’on veut [Àrith., 66), on remplacera 5 et 7 par leur produit 35, et l’expression proposée deviendra 35abc. 35 est le , coefficient.

Quand une lettre est prise plusieurs fois comme facteur, on ne l’écrit qu’une seule fois en faisant usage de Vexposanl. axaxax a s’écrira a'. Cette notation, en apparence de peu d’importance, a eu la plus heureuse influence sur les progrès de l’algèbre. Elle est due à Descartes.

Il faut avoir soin de ne pas confondre le coefficient et l’exposant. Le coefficient indique combien de fois il faut répéter une certaine quantité, et l’exposant à quelle puissance il faut élever cette quantité.

On indique la division en Algèbre comme en Arithmétique.

L’usage des parenthèses est nécessaire, en Algèbre comme ' en Arithmétique, quand il s’agit de soumettre à de nouvelles opérations des expressions où le calcul qui doit les. transformer est lui-même seulement indiqué.

Si l’on veut, par exemple, multiplier d+b par c — d, il faudra écrire

Si l’on veut diviser la différence ^ ^ — f par la somme a -{-f,

on écrira de même

Les mots égalité et inégalité ont le même sens en Arithmétique et en Algèbre : les signes correspondants sont aussi les mêmes.

Comme nous l’avons déjà dit en Arithmétique, lorsque plusieurs quantités ont, sans être égales, une dépendance commune, une certaine analogie qu’il importe de rappeler, on

iga ALGÈBnE ÉLÉMENTAIRE.

reprôseiile ces quaiuiliis par la même lellre alfoclée d’accents dilféreiils : a, a' , à", a'", etc.

6 . Un monôme est une expression algébrique dans laquelle il n’entre aucun signe plus ou moins. Une expression formée de plusieurs monômes réunis entre eux par les signes oii — , constitue ce qu’on appelle un polynôme. Les différents monômes, pris avec le signe qui les précèdent, sont les termes du polynôme. Un monôme qui n’a pas désigné est censé avoir le signe +. Quand le polynôme ne contient que deux termes, on l’appelle binôme; quand il en contient trois, on l’appelle trinôme.

Les expressions 6 ^ f, iqy/ic, sont des monômes.

Les expressions — Sab, ^ -(- 4 \jab, sont des binômes.

L’expression -t- ~^uh — üb est un trinôme.

L’expression rt' — Za^h-y-n^b' — ^nb' — 26 ' est un polynôme.

7. Une expression algébrique est dite entière o\i fractionnaire suivant qu’elle ne contient pas ou qu’elle contient des dénominateurs. Elle est dite rationnelle ou irrationnelle suivant qu’elle no contient pas ou qu’elle contient des radicaux [Àrith., 196).

Par exemple, l’expression ^st à la fois fraction-

naire et rationnelle; l’expression a-y\fâb est à la fois entière et irrationnelle. .

Souvent on ne considère la nature de l’expression que par rapport à l’une des lettres qui y entrent. Ainsi, une expression entière par rapport à x est une expression dans laquelle x n’entre dans aucun dénominateur.

On peut remarquer qu’une expression fractionnaire algébriquement donnera souvent un résultat numérique entier, lorsqu’on y remplacera les lettres par des nombres spéciaux; de même, une expression entière algébriquement donnera souvent un résultat numérique fractionnaire. Il ne faut point perdre de vue que les symboles algébriques doivent pouvoir représenter toutes les quantités possibles, sja reste incommensurable, si l’on fait a = i, et devient numériquement commensurable si l’on fait a = i5.