On appelle degré d’un monôme la somme des exposants

ALGLBUE ÉLÉME^TAII^E. I

«le toutes les lettres qui y entrent. Le monôme ’]à‘b'c est un monôme du G' degré, la lettre c a l'exposSnt i .

On appelle degré d’un polynôme le degré le plus élevé parmi ceux des termes qui le composent. Le polynôme

— 3a’-+- — ^6 est un polynôme du 5* degré.

Quand tous les termes d'un polynôme sont de môme degré, il est dit homogène. Le polynôme aa’ — 5a’A-t-4a6’ — 6b' est un polynôme homogène du troisième degré.

Souvent on ne prend le degré que par rapport à une lettre. Le monôme 5a'x' est du troi^me degré en a:. Le polynôme Sa’a:’ — aa’x’ -t-5aar — a' est aussi du troisième degré en x.

9. On entend par termes semblables deux termes qui contiennent les mêmes lettres affectées des mêmes exposants, et qui ne diffèrent que par le signe et le coefficient.

Quand il y a des termes semblables dans un polynôme, on a soin d’en opérer la réduction pour simplifier l’expression du polynôme.

Soit le polynôme

3 a’ — 5 a ’ 6 -i- 7 ai’ — a’ -t- 2 a’i — 3ai’-|- 2 a’ -+-a’i — 5ai’.

Les termes 3a’, — a’, -t-aa’, sont semblables. Il faut, à la quantité représentée par 3a’, ajouter la quantité représentéo par 2 a’, puis retrancher du résultat la quantité représentéo par a’. On aura évidemment

On aura de même

— 5 a’ 6 -f- 2 a’i -l-a’i = — -la'b,

ce dernier résultat signifiant qu’on doit de la quantité 4 a’ retrancher la quantité aa’ft.

Enfin, on peut écrire 7 ai’ — 3ai’ — 5ai’= — ai’, ce qui - indique qu’on doit retrancher encore du reste de la précédente soustraction la quantité ai’.

Le polynôme proposé prendra donc la forme beaucoup plus simple «

4 a’ — 2 a’i — ai’.

Pour opérer la réduction des termes semblables, on voit qu’il suffit de considérer les coeffu^nts et leurs signes. Si les coefficients des termes semblables ont le même signe, on les ajoute, on donne leur signe à la somme obtenue et on écrit à la suite la partie littérale commune. Si les coefficients des termes semblables n’ont pas le même signe, on ajoute séparément les coefficients qui ont le signe -4- et séparément les I. i3

1^4 ILGÈBaE ÉLÉMENT AIRE.

coefficients qui ont le signe—, on retranche la plus petite somme de la plus grihde, on donne au résultat le signe de la plus grande somme et on écrit à la suite la partie littérale commune.

10. Après avoir opéré la réduction des termes semblables, on ordonne ordinairement le polynôme. Ordonner un polynôme, c’est l’écrire de manière que les exposants d’une certaine lettre aillent en croissant ou en décroissant d’un terme au suivant : cette lettre est la lettre ordonnatrice.

Le polynôme 5ar’ — est ordonné suivant les puissances décroissantes de x; le polynôme — — gx’-t-aar* est ordonné au contraire suivant les puissances croissantes de x.

Quand un terme ne contient pas la lettre ordonnatrice, il est du degré zéro par rapport à cette lettre.

Un polynôme est complet quand il contient, par rapport à la lettre ordonnatrice, les termes de tous les degrés depuis zéro jusqu’au degré du polyrîôme. Un polynôme complet a donc un terme de plus que le nombre qui indique son degré. Un polynôme complet du degré m renferme m ■+■ i termes.

Lorsque, dans un polynôme, plusieurs termes renferment une même puissance de la lettre ordonnatrice, on écrit ces termes en les ordonnant par rapport à une seconde lettre. On met souvent, dans ce cas, la puissance commune de la lettre ordonnatrice en facteur commun. Si l’on a les termes — ^a’x^ -^5a*x^, on les écrira de l’une ou l’autre

des manières suivantes :

Za}X* — ^a?x^ + Sa*x^, {3rt* — ^a^-h5a^]x^.

11. Quand deux quantités dépendent l’une de l’autre, de manière que, la valeur de l’une d’elles étant fixée, la valeur de. l’autre s’ensuive nécessairement, on dit que ces deux quantités sont fonction l’une de l’autre. Ainsi, la pression de la

‘vapeur d’eau est fonction de sa température. La relation qui exprime la liaison existante entre les quantités fonctions les unes des autres, s’appelle une équation,

La relation 5x — 3 j = 7 est une équation centre les quantités xety fonction l’une de l’autre. On a étendu le sens du mot fonction en l’appliquant à l’équation elle-même : Sx — 3j = 7 est une fonction implicite de x et de y. Nous disons implicite, parce que la forme sous laquflle se présente l’équation ne montre pas immédiatement quelles opérations il faut exécuter pour déduire J' de x ou x de j’.

Si l’on fait tout passer dans un membre de manière à avoir Sx — 3 y — 7 = 0, on peut représenter la fonction par le symbole F (.r,^) =0, qu’on doit lire fonction de x et de y égale

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ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE. 1^5

zéro. Si l’on a plusieurs fonctions différentes à indiquer, on fait varier la lettre F et on la remplace par la lettre f, la lettre etc.

On peut, dans certains cas, isoler dans un membre l’une des quantités variables considérées. Par exemple, de l’équation Sx — 3 ^= 7 , on déduira

On a alors une fonction explicite de x par rapport à y, parce qu’on voit immédiatement quelles opérations il faut faire pour déduire x de /«dans ce cas est appelé la variable indépendante. On indique la fonction en écrivant t = F F (a?) et F(j) indiquent en général deux fonctions explicites composées de la même manière, l’une en a-, l’autre en de sorte qu’elles se transforment l’une dans l’autre quand on y change x en 7 >et en x.

Le but principal de l’Algèbre est précisémenfle passage des fonctions implicites aux fonctions explicites correspondantes, c’est-à-dire que ce but est la résolution des équations.

CHAPITM IL