ADDITION ET SOUSTRACTION

12. Comme l’Algèbre opère sur des symboles généraux qui ne peuvent pas se fondre les uns dans les autres, le calcul algébrique consiste à remplacer certaines indications par d’autres plus simples ou équivalentes.

Addition.

13. Soit le polynôme a-\-b — c-\-d — e — /. Il est évidertt que sa valeur est l’excès de la somme des termes qui ont le signe -t- sur la somme des termes qui ont le signe — , de sorte qu’on peut mettre le polynôme sous la forme

{a-\-b->r d)— [c + e -yf).

Représentons par A la somme des termes qui ont le signe -i-, c’est-à-dire la somme des termes positifs ; représentons par B la somme des termes qui ont le signe — , c’est-à-dire la somme des termes négatifs. On aura

et le polynôme donné, quel qu’il soit, aura pour expression A — B.

iq6 ALCi.BIlE ÉLÉMENTAIRE.

(3e que nous venons de dire prouve qu’on peut écrire les termes d’un polynôme dans un ordre quelconque, sans changer sa valeur. . •

Si l’on remplace les lettres par des nombres, le résultat final ou la valeur du polynôme peut être positive ou négative. Si le polynôme proposé devient, par celle substitution,

sa valeur sera (i 2 -f- 5 -f- 2 ) — (94-3-1-4) o» 3. Si le polynôme devient au contraire 9 *t- 3 — 12 - 1-4 — 5 — s® valeur sera ( 94 - 34 - 4) — (12 4 - 5 4 - 2 ) ou — 3.

14. Ceci posé, admettons qu’on veuille ajouter au polynôme P le polynôme A — B, dont la valeur est positive. Pour ajouter une différence, il faut évidemment ajouter le plus grand nombre et retrancher le plus petit du résultat. On aura donc

Ajouter A, c’est écrire à la suite du premier polynôme P tous les termes du second qui ont le sigrte -|-, avec leurs signes; et retrancher B, c’est écrire à la suite du résultat obtenu tous les termes du second polynôme qui ont le signe — , aussi avec leurs signes. En effet, ajouter ou retrancher une somme, c’est ajouter ou retrancher successivement toutes les parties de celle somme.

On arrive donc à celle règle générale ; Pour ajouter deux poiynômes, on écrit le second à la suite du premier en conservant les signes de tous ses termes.

On ne sait jamais d’avance si le polynôme à ajouter aura une valeur positive ou négative, car on no sait pas quelles valeurs numériques la question proposée conduira à substituer aux lettres. On serait donc toujours arrêté dans l'application de la règle, si on ne la généralisait pas à l’aide d’une convention à.laqtielle celle nécessité même donne naissance.

Pour pouvoir étendre la règle au cas où le polynôme à .ajouter a une valeur négative, il faut faire celle convention qu’ajouter une quantité négative, c’est retrancher la quantité positive correspondante : ajouter — 3, c’est retrancher 3. Si le polynôme A — B a la valeur — 3, P -t- (A — B) sera égal à P — 3.

L’addition n’entraîne donc plus l’idée d’augmentation : c’est une augmentation, si le polynôme qu’on ajoute a une valeur positive; c’est une diminution dans le cas contraire. L’addition algébrique renferme à la fois l’addition et la soustraction arithmétique.

On peut dire, d’après ce qui précède, qu’un polynôme est la somme algébrique de tous ses ternies, et qu’ajouter un polynôme, c’est ajouter tous ses termes.

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Al.GÈBHE Él-ÉMENTAIUE.

Soustraction. •

15. Supposons qu’on ait à retrancher du polynôme P le polynôme A — B, et que la valeur de ce dernier polynôme soit positive. Nous avons vu en Arithmétique (62) que, pour retrancher une différence, il fallait^|puier le plus petit nombre et retrancher le plus grand du résultat. Le résultat demandé sera donc . . - • .

Ajouter 5, c’est écrire tous les termes de B à la suite du polynôme P avec un signe contraire à celui qu’ils ont dans le polynôme à retrancher; ajouter ensuite — A ou retrancher A, c’est écrire tous les termes de à la suite du premier résultat, aussi avec un signe contraire à celui dont ils sont affectés dans le po-. lynôme à retrancher. On est donc conduit à cette règle : Pour soustraire deux polynômes l'un de l’autre, on écrit le second à la suite du premier en changeant les signes de tous ses termes.

Pour pouvoir étendre la règle au cas où’ le polynôme à retrancher a une valeur négative, il faut faire cette convention que, retrancher une quantité négative, c’est ajouter la quantité positive correspondante. Betrancher — 3, c’est ajouter 3, Si le polynôme A — B a la valeur — 3, P — (A — B) sera égale à P-f-3.

Ayant’ d’ailleurs fait la convention qu’ajouter — 3, c’est retrancher 3, il faut bien faire la convention que retrancher

— 3, c’est ajouter 3 ; il faut que ces deux opérations , ajouter

— 3 et retrancher — 3, se détruisent.

De môme que l’addition algébrique n’entraîne plus l’idée d’augmentation, la soustraction algébrique n^entraîne plus l’idée de diminution. C’est une diminution quand la quantité à retrancher est positive, c’est une augmentation dans le cas contraire.

On peut dire, d’après ce qui précède, que retrancher un polynôme, c’est retrancher tous ses termes.

Exemples ; >

, , l 5 a' — 3 (d l> -h n b’ — 5oè’ — b'

po y nomes | — 8a'b^-\-^ab^ — 2 b'

a ajouter | — zai'b -\-3a^b ^ — ab^-hSb'

3 a* — 2 cP 6 -H 2 fl’ ô’ — 2 ab' + 2 è'

polynômes 1 5a' — Za^b-y 'ja'b‘‘ — 5a/P — b*

à soustraire! —Za'yZa'b — SePè’ — aô* 8rt‘ — 6rP/> -|-i5«’è’ — i)ab^-y b'

ALGÈBHE élémentaire.