CHAPITRE III

multiplication.

Maltiplicatioflles monômes.

16. Nous avons vu en Arithmétique que, pour multiplier deux produits de plusieurs facteurs, il sufTisait de former un produit unique avec tous les facteurs du multiplicande et tous ceux du multiplicateur. Nous avons vu aussi que, dans un produit d’un nombre quelconque de facteurs, on pouvait changer leur ordre de toutes les manières possibles et en remplacer un nombre quelconque par leur produit effectué. I)e plus, on multiplie deux puissances d’une même quantité, en ajoutant leurs exposants [Urilh., 66, 67, 73).

Ceci posé, soit à multiplier le monôme 5a‘bx‘ par le monôme 7 «’ A’ J. Le produit sera égal à

5 X «• X A X X’ X 7 X a* X A’ XJ.

On pourra remplacer les facteurs 5 et 7 par leur produit effectué 35, rt’ et par leur produit effectué a’, A et A’ par leur produit effectué A’; et il viendra

. ' 5 rt’ A.r’ X 7 a* A’ j = 35a’ A’ x'jr

Pour multiplier deux monômes, il faut donc multiplier leurs ■

coefficients, écrire les lettres communes à la^ suite du résultat obtenu avec un exposant égal à la somme de ceux qu'elles ont I

dans les deux facteurs, écrire les lettres non communes telles I

quelles se trouvent dans les deux facteurs. |

Cette règle permet d’effectuer le produit d’autant de monômes qu’on voudra.

Holtiplication d'on polynôme par ime quantité .quelconque.

17. Soit le polynôme a-\-b — c k multiplier par m. Si m est [

entier, on a pour but de répéter m fois le multiplicande. En |

appliquant la règle de l’addition, on trouve immédiatement

pour résultat

am -f- Am — cm.

Si l’on veut diviser le polynôme a-|- A — c par l'entier p, le résultat sera évidemment, d’après ce que nous venons d’obtenir,

abc

pp~p'

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. I99

En effet, ce dernier polynôme multiplié par le diviseur p reproduit bien le dividende a-t-b — c.

♦Si l’on a maintenant à multiplier le polynôme a + b — c par

la quantité fractionnaire quelconque il faudra diviser le polynôme par P et répéter /n fois le quotient obtenu. L’application des deux remarques précédentes conduira alors au résultat

am bm cm

On voit que, pour multiplier un polynôme par une quantité quelconque, il faut multiplier tous les termes du multiplican4e par le rnultiplicateur, en conservant leurs signes,

Moltiplication de deux polynômes.

18. Représentons le premier polynôme par A — B, le second parC — 1), et supposons que les valeurs des deux polynômes soient positives.

Nous rappellerons les deux théorèmes suivants démontrés en Arithmétique.

Pour multiplier deux sommes l’une par l’autre,"'!! faut multiplier toutes les parties de la première somme par toutes les parties de la seconde, et ajouter tous les produits partiels obtenus (63).

Pour multiplier un nombre par une différence, il faut multiplier ce nombre par chaque partie de la différence, et retrancher le plus petit produit du plus grand (64).

En regardant A — B comme une différence effectuée, on pourra écrire :

Si l’on ne regarde plus A — B comme une différence effectuée, on aura (17)