A — B) D = AD -BD

Pour retrancher ce dernier produit, il faut écrire ses termes à la suite du premier résultat en changeant leurs signes (15). On aura donc

(A — B) X(C — D) = AC — BC— AD-f-BD.

Examinons ce produit. Il renferme les produits de A et de B par C et par D. Comme A, B, C, D représentent quatre sommes arithmétiques, on pourra dire que le produit demandé contient les produits partiels de tous les termes du multiplicande par

ALGÈBRE ÉLÉMEWTAIRE.

tous ceux du mulliplicRteur. Il reste maintenant à savt)ir de quels signes ces produits partiels devront être al'lcctés. AC et lil) étant précédés du signe +, tous les produits partiels correspondants auront le signe -1-. A et C représentent l’enseinblé des termes du multiplicande et rcnsemble des termes du multiplicateur qui ont le signe -f-, B et D l’ensemble des termes du multiplicande et l’ensemble des termes du multiplicateur qui ont le signe — . On peut donc dire que deux termes qui ont le signe -t- ou deux termes qui ont le signe — , c’est-à-dire deux termes qui ont le même signe, donnent un produit partiel positif. BC et Al) étant précédés du signe — , tous les produits partiels correspondants auront le signe t-- Tous les termes de B sont, dans le multiplicande, précédés du signe — ; tous les termes de C sont, dans le multiplicateur, précédés du signe -+-• De même, tous les termes de A sont, dans le multiplicande, précédés du signe -i- ; et tous les. termes de 1) sont, dans le multiplicateur, précédés tiu signe — . Ou peut donc dire qu’f/n terme qui/t le signe — et un terme qui a le signe ou un terme qui a le signe -f- et un terme qui a le signe — , c’est-à-dire deux termes qui ont des signes différents, donnent un produit partiel négatif

On est donc conduit à cette règle : Pour multiplier deux polynômes, il faut multiplier tous les termes du multiplicande par tous les termes du multiplicateur, en suivant la règle des signes.

19. Pour généraliser cette règle, pour pouvoir l’appliquer au cas où l’un des polynômes ou tous les deux ont une valeur négative, il faut étendre la règle des signes au cas où les quantités à multiplier sont des ((uantités isolées, et faire les conventions suivantes : Deux quantités isolées de même signe donnent un produit positif, deux quantités isolées de signes contraires donnent un produit négatif. C’est ce qu’on exprime en posant

(-+-«) X ( — b)= — ab,

( — a) X ( — b) = ab.

Il resuite de là (|u’en changeant le signe de l’un des facteurs du produit, on change nécessairement le signe du produit; et qu’en changeant à la fois les signes des deux facteurs, on ne change pas le signe du produit.

Ceci posé, si le multiplicateur C — I) a une valeur négative, on pourra écrire

Les deux facteurs entre parenthèses étant |K»silifs, on peut leur

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

appliquer la règle précédente (18), et il vient

(A — B)x (C — 1 ))=— (AD — BD — AC + BC), ou