A — B) X (C - D) = AC — BC — AD 4- BD

20. 11 résulte de ce qu’on vient de dire (jue les puissances paires d’une quantité négative sont toujours positives, et que ses puissances impaires sont toujours négatives. Kn effet, le produit de a h facteurs négatifs revient à n produits partiels composés cbacun de deux facteurs négatifs; ces n‘ produits seront donc tous positifs, ainsi que le résultat obtenu en les multipliant entre eux. Ce résultat étant multiplié par un nouveau facteur négatif, c’est-à-dire le nombre des facteurs négatifs devenant impair, le signe du produit changera et deviendia négatif.

De sorte que si, dans une expression algébrique, le signe d'une lettre vient à changer, les termes qui la contiennent à une puissance paire conservent leurs signes, tandis que les termes qui la contiennent à une puissance impaire doivent en changer.

Multiplication des polynômes ordonnés.

21. Dans la pratique, on a soin, quand ceh\est possible, d’ordonner les deux polynômes à multiplier. On multiplie al*rs le multiplicande successivement par tous les termes du multiplicateur, et l’on écrit les produits partiels obtenus les uns audessous des autres, de manière à favoriser la réduction des termes semblables.

Exemples ;

Ç)X^ + lOX^ — 7 X -t- 2

3 ar- -f- 5x — 8

— ’]2.x ^ — 80 x’ 4- 5tJ a.' — i(i

202 ALCÈBttE ÉLÉMENTAIRE.

6 a’ — a’ i 4- 4 ab'‘ -h 3 5 a’ — 'J a& -f- 2 5’

3oa’ — 5a*5 4 - 2oa’5’-+- i5a’5’

— ^“la'b — 28 a‘b‘ — 21 a5‘

3oa‘ — /^']a*b + 3g a’ b’ — i5a’5’ — i3 a5‘ 4 - 6 5'

11 est important de remarquer que, lorsque deux polynômes sont ordonnés par rapport aux puissances croissantes ou décroissantes d’une même lettre, on peut immédiatement indiquer deux termes de leur produit qui ne se réduiront avec aucun autre. Ces deux termes sont ceux qui proviennent du produit des deux premiers termes et du produit des deux derniers termes du multiplicande et du multiplicateur. En effet, les termes indiqués contenant la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé ou plus faible que tous les autres termes du multiplicande et du multiplicateur, leurs produits contiendront aussi la lettre ordonnatrice avec un exposant plus élevé ou plus faible que tous les autres termes du produit cherché. Par conséquent le premier et le dernier terme de ce produit échapperont à toute réduction, puisque aucun terme du produit ne peut leur être semblable. C’est précisément sur cette remarque que repose la théorie de la division des polynômes ordonnés.

22. Lorsque la lettre ordonnatrice entre à une même puissance dans plusieurs termes, la multiplication principale est compliquée de multiplications partielles particulières ; mais la marche à suivre est la même.

Soit, par exemple, à multiplier

(a’ — 6’)x’4-(a’ — 2 ab lé) X [ab — 5’) par

^ (a’-t-5’)a;’ — (a’ — 5’) ar — 5’.

Le plus simple est d’écrire dans une même colonne verticale, avec leurs signes, les termes qui multiplient urne même puissance de à: ; on trace une barre verticale à droite de ces termes, et l’on écrit en face du premier la puissance de a; qui multiplie toute la colonne.

A ce sujet, nous remarquerons que lorsqu’on met plusieurs termes entre parenthèses, si la parenthèse est précédée du signe 4-, ces termes y entrent avec leurs signes; mais on les écrit avec des signes contraires, si la parenthèse est précédée du signe — . Cette remarque résulte immédiatement de la règle de la soustraction algébrique. Lorsqu’on enlève les parenthè ses, dans le second cas, il faut en effet, d’après cette règle,

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

changer les signes des termes du polyn6me qu’elles isolaient; si l’on n’avait pas pris la précaution indiquée, on ne reproduirait donc pas ce polynôme tel qu’H a été donné.

L’opération demandée présentera la disposition suivante :

Multiplicande — i’

Multiplicateur — a’ -t-i’

— 2 ai -l-i’