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ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
4.0. 1". On ne change pas la valeur d'un rappoil en multipliant ou divisant ses deux termes par une m^me quantité.
De ^ = q, JC dis qu on peut déduire ^ = 7- ^ csl-a-dire
. a . , a>Cm
(juc le rapport ^ est égal au rapport ^ ^ > wclaiil une quan-
tité quelconque, l’uisqu’on a
fl = A X q,
on a aussi
et l’on en tire
fl X /n a
11 résulte innnédiatement de ce théorème que, pour réduire un rapport algébriijue à sa plus siinjile expression, il faut rendre ses deux termes premiers entre eux. •
On dit (jue deux (juantités sont algébriquement premières entre elles, lorsqu’elles n’admettent aucun facteur commun, soit numérique, soit algébrique, soit monôme, soit polynôme. Considérons le rapport
1 2 fl’ lé — I ?, fl’ lé y.Sa^h- — 56 a' lé -e sBfl’ô'
Mettons en évidence au numérateur le facteurcommun \ïu'b';’ le numérateur deviendra
1 2 fl’ b' [a — b ) .
Mettons en évidence au dénominateur le facteurcommun 28«’ô’; le dénominateur deviendra
28«’ lé (fl’ — 7.ab lé).
Le rapport jircndra donc la forme
i2fl’/»'(fl — /)’. 3ô’;fl — b] ' ’Mé
•,>8fl’/)’ fl’ — 7.ab + b')
Pour réduire plusieurs rapjiorts au même dénominateur ou au plus petit dénominateur commun, il suit aussi du tbéorème démontré qu’on doit opérer comme en Arithmétique.
Soient les rapiiorls
■JC 3/> 5 fl
i2fl’/é(fl -t- liy 4ort’c» (fl — ô)’ 27/;’f’(fl’— è’)
Les dénominateurs décomposés en facteurs donneront
1 2fl’ô’ (fl -f- b] — 2’X 3 X fl’ X lé X (fl -f- b),
/jofl’c’ (fl — /') = 2.’ X ô X <é X X (fl — b),
27 />’(■’ (fl’— è’) = 3’ X lé X <•' X (fl X />) X (fl — b).
Air.KBriE élémentÀihe.
Leur plus petit imiltiple eoiumun sent 2’X 3'X 5x «’X fr"X f’X (« + h] X (u — h) = i o8ou’/> V («’ — h'].
En divisant ce j)lus petit multiple coinnuin par chacun des dénominateurs, ce qu’on fera en supprimant leurs lacteurs parmi ceux du plus petit multiple commun, on trouvera pour quotients successifs;
2 X 3= X 5 X rt X c’ X frt — l>) = (joftc' (rt — A),
*3^X />’X cX (rt-f-ft) = b],
2’ X 5 X rt’ == 4o«^-
En multipliant respectivement les deux termes de chaque rap|)ort par ces quotients, les rapports proposés deviendront
f)3oflc' ((T — 6) 8 ib'c[a-hl>) 200
1 080 {a' — b^)' 1 080 a’b'c^ («’ — b’)' i o4io a-'b^c' [a’ — 6 )
Pour additionner plusieurs ra]>ports, il faut les réduire au même dénominateur, ajouter leurs numérateurs, et donner à la somme obtenue le dénominateur commun.
Pour soustraire deux rapports, il faut les réduire au même dénominateur, retrancher leurs numérateurs, et donner à la différence obtenue le dénominateur commun.
41. 2“. Pour multiplier deux rapports, il faut les multiplier terme à terme.
Soient les deux rapports ^ et Nous aurons
Posons T = (/ et — q' .
a = bq c ~ dq'.
Multiplions ces deux égalités membre à membre, il viendra
ac = bdqq'.
Divisons les deux membres de cette dernière égalité par bd. On pourra écrire
ac
bd
42. 3“. Pour diviser deux rapports, il faut multiplier- le' premier rapport par le. second renversé ou les diviser terme A terme.
Soient les deux rapports -j et Je dis que leur (]uotient
sera égal à •
a .</ ad
/ b^ c bc
ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIBE,
En pffet, on a
c ad cad a
d ' bc dbc h'
, • . ad . , . .
le quotient pont aussi s eenro
Remarquons que les quantités entières iienvcnt être assimilées à des rapports qui ont pour dénominateur l’unité.
43. 4”- Lorsque plusieurs rapports sont /■f^aux, si on les ajoute terme à terme, on forme un rapport égal à chacun des rapports proposés.
Soient les rapports
On en déduit
a=zbq, a' = h'q, a"—h"q.
Ajoutons ces égalités membre à membre, nous aurons
a-\-a' + a" =bq + b' q -h b" q = {b + b' + b") q, d’où ' 1
rt 4- fl' 4- fl"
On démontre de même que lorsque deux rapports sont égaux, si on les soustrait terme à terme, on forme un rapport égal à chacun des rapports proposés.
44. 5" Lorsque plusieurs rapports sont égau.x, le rapport formé en divisant la racine carrée de la somme des carrés des numérateurs par la racine carrée de la somme des carrés des dénominateurs, est égal à chacun des rapports proposés.
Soient les rapports j = ^ = Pour élever un rapport au >
carré, il faut évidemment élever ses deux termes au carré. On aura donc, aussi
lé ~ é" “ 6"’’
On en déduira
fl’ 4- fl" 4- fl"’ fl’
Pour extraire la racine carrée d’un rapport, il faut évidem-»
Al.ctniuî ^LI-MF.NTAinE. 2a3
ment extraire la racine carrée de scs deux termes. On atira donc
45. Proposons-nous, comme exercice, de simplifier l’expression suivante :
h — ‘rt I -+- ba ah — n‘‘ I -f- ba
On commencera par faire disparaître le dénominateur en inulliplianl les? deux termes du rapport par ce dénominateur. On trouvera
a 4- bn'‘ b — a ha- h i ) ^
