fï — h) h 5. />(« — II

(7’fr ^ 2 (rt — h) ■?.n'b(n — b) n‘

Théorie des proportions.

^^fl. On iijipelle proportion l'égnlité de deux rapports. Si les deux rapports ^ cl ^ sotil égaux, ils formeront la proportion ~ = Y On écrit aussi une proportion en remplaçant la barre de fraction par le signe On a alors

Il résulte, des explications données en Arithmétique (1C4) que lorsque quatre grandeurs forment proportion, il en est de même des nombres qui les représentent.

Dans la proportion ^ = ^ ourt;/> = c;</, les numérateurs

des deux rapports prennent le nom A' antécédents, les dénominateurs prennent le nom de conséquents. Les termes a ci d sont les deux extrêmes, les termes b ei c sont les deux moye.ns. On énonce souvent une proportion, surtout en Oéomélrie, en disant : a est A b comme c est A d.

La propriété fondamentale des proportions est la suivante : Dans tonte proportion, le produit des extrêmes est égal nu produit des moyens.

Soit^ = jÿ- Réduisons les deux rapports au même dénominateur, il viendra '

a >id c X />

b Xd dx h

Ces deux rapports étant égaux et avant même dénominateur, leurs numérateurs sont égaux, et l'on a

axd == c X b.

Réciproquement, Si quatre nombres sont tels, que le produit des e.vtrêmes soit égal A celui des moyens, ces quatre nombres forment proportion dans l’ordre même où ils sont écrits. En effet, si l’on a l’égalité axd = cx b, on peut en diviser les deux membres par le produit dx b. Il vient

aXil __cx l> dx b ~ ïï^b'

ALGÈBHE ÉLÉMINTAIRE.

aa5

c’osl-à-dire, en siniplitianl,

Étant donnés trois termes d'une proportion, on peut d’après cela déterminer facilement le quatrième. Si c’esi un extrême qui est inconnu, il faut diviser le produit des moyens par l’extrême connu. Si c’est un moyen qui est inconnu, il faut diviser le produit des extrêmes par le moyen connu.

Comme la condition pour qu’il y ait proportion est que le produit des extrêmes soit égal au produit des moyens, on peut faire subir à une proportion, sans qu’il cesse d’y avoir proportion, les changements suivants :

i". On peut changer les moyens entre eux. De la proportion

on déduit alors

9 .". On peut échanger les extrêmes. Si l’on fait subir cette transformation aux deux proportions précédentes, il vient .

3". On peut changer les moyens de place avec les extrêmes. Si l’on fait subir cette transformation aux quatre proportions déjà obtenues, on trouve

h •. d = a : c, cid = a:li.

En tout trois changements donnant lieu à huit proportions.

( >n peut de même multiplier ou diviser par un même nombre les deux termes du premier ou du second rapport, multiplier ou diviser par un même nombre les deux antécédents ou les deux conséquents.

kl. Lorsque deux proportions ont un rapport commun, les deux autres rapports forment proportion. '•

Si l’on a . , -

on en déduit ^

Il résulte de ce que nous venons de dire que, lorsque deux

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AI.GÈBI’.E ÉLÉMEMAIRE.

proportions ont les mêmes antécédents ou les mêmes conséquents, leurs conséquents ou leurs antécédents forment proportion. • •

Soient les proportions ^ ê~f’ tnoyens

de place dans ces deux proportions; elles deviendront

c-rr a -J"

et l’on en déduira

fiS. Dans toute proportion, la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou A la différence des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent.

• (te

De la proportion ^ ^ on tire immédiatement (43)

En séparant les signes, on a a la fois

CM- c a ^ a — c a

IT^l—T» bH7l~.V

On en déduit

Cf -t- c a — c ■

ou, en changeant les moyens de place,

ce (pi’on énonce en disant que, ’rfans toute proportion, la somme des antécédents est à leur différence, comme la somme des conséquents est à leur différence .

49. Dans toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est àla somme otiA la différence des deux derniers, comme le premier terme est au troisième ou le second MU quatrième.

Dans la proportion ^ changeons les moyens de place;

nous aurons Appliquons le théorème précédent (48) à

cette dernière proportion; il viendra

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

En séparant les signes, on a la fois

e -H fl? ■

: - et

On en déduit

ou, en changeant les moyens de place, a->rb 0 + d

ce qu’on énonce en disant que, dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence comme la somme des deux derniers termes est à leur différence.

50. En multipliant plusieurs proportions terme à terme, on obtient une proportion.

soient les proportions j = p = Multiplions

membre à membre ces trois égalités. On trouvera b^ b'^ b"~ d^ d'^ d"'

c’est-à-dire, en suivant la règle de multiplication des rapports (41),

bb'b’' dd'd"

' De même, en divisant deux proportions terme à terme, le» quotients obtenus forment proportion.

Soient les proportions ^ = membre à

membre ces deux égalités, nous trouverons

c’est-à-dire, en suivant la seconde règle de division des rapports (42),

Les puissances ou les racines de même degré des quatre termes d’une proportion, forment proportion.

De l’égalité ^ ^ on tire évidemment

fl"

ou =

228 algèbre élémentaire.

Ou en déduit aussi

La dcmotïstralion est analogue à celle déjà donnée en Ai ilhinétique (208, 219).

51. Chercher une moyenne proportionnelle entre deux quantités, c’est former une proportion qui ait pour extrêmes les quantités données et pour moyens égaux la moyenne proportionnelle demandée.

Désignons par x la moyenne cherchée, par a et h les quantités données. Il faudra qu’on ait

La inojenne proportionnelle de deux quantités est par suite égale à ta racine carrée de leur produit.

X tombe nécessairement entre a et b, d’où le terme de moyenne employé.

Il est facile de comparer la moyenne proportionnelle ou géométrique de deux quantités à leur moyenne arithmétique (Arith., 140).

Soient les quantités a et b. Désignons par j leur moyenne .arithmétique et par x leur moyenne géométrique \jal>-

Nous aurons

/a-yby té-yiab-\-b'

y -\-T~) 4 x^=ab,

d’où

^ == u‘ + ^ab-¥lé cé-f- ?■«<>■+- /u—by

Que a soit plus grand ou plus petit que b, ces deux quantités étant d’ailleurs supposées positives, est une quantité

essentiellement positive, y l’emporte donc sur x^, ou y sur x, c’est-à-dire que la moyenne arithmétique de deux quantités est plus grande que leur moyenne géométrique.

Des grandeurs proportionnelles ou inversement proportionnelles.

52. Je rappelle la définition de ces grandeurs [Arith., 255 et suivants). Deux grandeurs sont proportionnelles, lorsque deux

ALgLbIIE ÉLÉMEM'AIRE.

valeurs quelconques de la première grandeur rorincnl un rapport égal à celui des valeurs correspondanles de la seconde grandeur.

Deux grandeurs sont inversement proportionnelles, lorsque deux valeurs quelconques delà première grandeur forment un rapport égal au rapport inverse des valeurs correspondantes de la seconde grandeur.

53. Désignons par les symboles X et Y les deux grandeurs considérées. Soient x' et or" deux valeurs particulières de X, y'- et y" les valeurs correspondantes de V. Si les grandetirs considérées sont proportionnelles, on aura par définition

Si l’on change les moyens de place, il vient

Les valeurs considérées étant quelconques, on peut dire que le rapport de deux valeurs correspondantes quelconques des deux grandeurs est constant. Les grandeurs projiortionnclles sont donc caractérisées par la formule générale

Y = const.

Si l’expérience donne deux valeurs particulières correspou dantes des grandeurs considérées, la constante, égale à leur quotient, se trouve déterminée ainsi que la relation numérique qui lie les deux grandeurs.

54. Si les grandeurs X cl \ sont inversement proportionnelles, on a par définition

Si l’on forme le produit des extrêmes égal au produit des moyens, on a

Les valeurs considérées étant quelconques, on pmii dire que le produit de deux valeurs correspondanles quelconques des deux grandeurs est constant. Les grandeurs inversement proportionnelles sont donc caractérisées par la formule générale