THEORIK GÉNÉRALE DES FOYERS ET DES DIRECTRICES

131. Soit une ellipse dont l’équation générale a été ramenée à la forme

c’est-à-dire a été rapportée aux axes mômes de la courbe. Si l’on prend sur l’axe des x (en supposant «> é), de part et d’autre du centre, deux points F et F' situés à une distance de ce centre égale à c = yjà? — é*, et si l’on cherche le lieu des points dont la somme des distances aux points F et F' est constamment égale à a a, on retombera sur l’ellipse donnée (66).

On pourra faire pour l’hyperbole et la parabole des remarques analogues (67, 68).

Par conséquent, l’ellipse et l’hyperbole ont deux foyers, la parabole en a un, et ces points jouissent par rapport aux courbes considérées de propriétés remarquables qui peuvent leur servir de définitions géométriques.

La question résolue au n° 69 prouve en outre que les trois courbes du second ordre peuvent encore être obtenues comme lieu des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe restent proportionnelles. Le point fixe donné se confond alors avec l’un des foyers de la courbe trouvée, la droite fixe est une directrice de cette courbe. L’ellipse et l’hyperbole ont deux foyers et deux directrices, la parabole a un foyer et une directrice.

11 s’agit donc bien moins do retrouver dans les trois courbes du second degré tes points et les droites appelés foyers et directrices, que d’en donner une définition analytique convenable.

Remarquons, à cet effet, que la distance d’un point (x', y') à une droite

ly mx + n = o étant égale à , est une fonction ration-

nelle et dû premier degré des coordonnées de ce point. 11 en résulte que, si les distances du point (x', y') à une droite fixe (directrice) et à un point fixe (foyer), doivent demeurer proportionnelles, il faut nécessairement que la distance du point (x', /') au point fixe s’exprime aussi rationnellement et linéairement. Car, en appelant d cette distance, on devra avoir ,

tr'-s- mx'-{- n

= constante.

On est ainsi conduit à la définition suivante :

On appelle foyer d'une courbe un point situé dans son plan et dont la distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle et du premier degré des coordonnées de ce point ; cette fonction égalée h zéro représente la directrice correspondante.

Les axes étant placés d’une manière quelconque, mais rectangulaires, si

GÉOMÉTUIE ANALYTIQUE. I 39

l’on désigne par a et ^ les coordonnées du foyer cherché, la distance du point (x, jr) de la courbe considérée à ce foyer aura pour expression

et l’on de\ra avoir

^/(x — a)'+ iX— py = lf+ mx + n ou

(/) {x - + {x — py — (ly-i- mx + ny = O.

Oetio relation devant être satisfaite par les coordonnées de tous les points du lieu, est l’équation môme de la courbe.

Cette équation étant du second degré, les seules courbes du second degré admettent des foyers, et, par suite, des directrices.

L’équation Ix+mx + n = o représente la directrice qui correspond au foyer (a, p). La distance du point (x, x) à cette droite est

Ix 4- mx + n

Le rapport des distances du point de la courbe au foyer et à la droite sera donc représenté par la constante

C'est la valeur de cette constante qui décide l’esiiéce de la courbe.

Pour le prouver, développons l’équation (/). Il viendra

• (i — — af/?/x/4-(i — Hi’)x* — ^[p In) X

— a(a4-mn)x-f-a’4-f>’ — o.

La quantité B’ — 4 AC devient

Par conséquent, suivant que le rapport sera inférieur, supérieur

ou égal à l’unité, l’équation [f) représentera une ellipse, une hxperbole ou une parabole.

La considération de l’équâtion (/) peut être utile dans toutes les questions qui se rattachent aux foyers et aux directrices : on lui donne le nom A’équation foeale des courbes du second ordre. •

■132. D’après les formules de transformation dos coordonnées et la définition adoptée, lorsqu’un point est foyer d’une courbe par rapport à un certain système d’axes, il reste foyer de la courbe pour tout autre système. Lorsqu’on veut déterminer les foyers et les directrices d’une courbe du second ordre, on peut donc, sans modifier la généralité de la question, supposer l’équation de cette courbe ramenée par le choix des axes à la forme la plus simple.