Prenons l’équation
Ellipse.
l4o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
L’t^uation focale de l’ellipse est, sous sa forme la plus générale et en supposant < I ,
(i — f’)/’ — n.lmxy-\-{i — +
— + mn)x + a^+p^ — n^ = o.
(it)
Pour identifier l’équation (i) et l’équation (2), nous écrirons cette dernière comme il suit ;
•jt Im
Les conditions d’identification seront alors (les termes indépendants des deux équations étant ainsi rendus égaux) ;
Il faut que l’on ait, d’après (4),
1=0 ou m = o\
c’est-à-dire que les directrices sont parallèles à l’un des axes ou perpcndiculaires à l’autre.
Supposons 1=0. Nous aurons alors, d’après (6),
P = o; b'= ri' — a’
et (5) deviendra (3) et (7) donneront donc
Par suite,
c’est-à-dire On a d’ailleurs
nr= — ,
x= — mn.
Si l’on remplace a’ par />/’«’ dans la relation { i — = «’ — a\ il vient
d’où
Il en résulte
(i — m')n' = — ni'n- = «’{i — /«^),
Ainsi, U existe deux foyers situés sur le grarul axe de Vellipse de part et d’autre du centre, et ayant pour abscisses
L’équalion mx + « = o des directrices devient d’ailleurs
c’est-à-dire
Si l’on prend a = -(- c, il faut en effet que m et n soient do signes contraires en vertu de la relation
U — — mn ;
c’est l’inverse si l’on prend a = — c.
L’ellipse a donc deux directrices perpendiculaires nu grand axe et situées de part et d’autre du centre à une distance qui est une troisième proportionnelle aux longueurs c et a.
Comme on a a>c, les deux directrices sont situées au delà des sommets de l’ellipse.
Le rapport des distances d’un point de la courbe à un foyer et à la directrice correspondante, qui est d’une manière générale \/l‘->rin‘, se réduit ici à m — quantité qui, dans le cas de l’ellipse, est bien inférieure
à I . Les points de l’ellipse sont donc plus rapprochés d’un foyer que de la directrice correspondante.
L’expression /(x — P)’ devient
c’est-à-dire, en remplaçant y’ par sa valeur tirée de l’équation de la courbe,
En simplifiant, on trouve, pour la distance essentiellement positive d’un foyer à un point de la courbe.
* Celte distance est une fonction rationnelle et du premier degté de l’abscisse du point considéré.
Les rayons vecteurs émanant du foyer qui a pour abscisse -f-c, ont pour expression générale
ex
ceux qui émanent du foyer qui a pour abscis,se — c, ont pour expression
l4a GÉOMÉTRIE ASALYTIQUE.
Ces résultats sont d’accord avec ceux du n“ 66, et la coïncidence indiquée précédemment (126) se vérifie immédiatement par l’addition des deux rayons veeteurs issus d’un mémo point de la courbe : leur somme est, en effet, constamment éfiale à -xa.
La distance^ac des foyers est souvent appelée V excentricité de l’ellipse; il vaut mieux réserver cette dénomination au rapport -•
D’après la condition —ilm = o, nous avons supposé /= o. Il faut, pour résoudre complètement la question, chercher quelles conséquences entraîne la supposition m = o.
On a alors
a = o, (i — ^ + ln = o.
11 en résulte
n étant >i, la valeur de p est imaginaire ainsi que celle de l : l’eitipse n’a donc que les deux foyers déjà trouvés.
Hyperbole.
13i. Nous prendrons ^ = I pour équation de la courbe; c'est
l’axe dos x qui rencontre alors l’hyperbole. En suivant la même marche que pour l’ellipse, on trouvera que l’hyperbole a deux foyers situés sur l’axe des x, c’est-à-dire sur l’axe qui rencontre la courbe. Les coordonnées de ces foyers seront
Les deux directrices auront pour équations
Comme on a dans l’hyperbole c>«, les directrices, perpendiculaires à l’axe des x, tomberont entre les deux sommets de la courbe.
Le rapport m des distances d’un point de la courbe à un foyer et à la
directrice correspondante sera encore égal à quantité qui dans le
cas de l’hyperbole est bien supérieure à i . Les points de l’hyperbole sont donc pbis éloignés d'un foyer que de la directrice correspondante .
' Enfin, l’expression \!{x — a)*4- (y — p )' devient alors
expression qui est une fonction rationnelle et du premier degré de l'abscisse du point considéré.
Les rayons vecteurs émanant du foyer qui a pour abscisse 4-r, ont pour expression générale
GÉOMÉTRIE ÀNA.LTTIQUE. l43
Le signe + convient lorsque le point considéré est sur la partie de droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse est positive; le signe — convient lorsque le point considéré est sur la partie de gauche, c’est-à-dire lorsque son abscisse est négative. De cette manière, on trouve toujours une valeur positive pour ta distance cherchée. Les rayons vecteurs émanant du foyer qui a pour abscisse — c, ont pour expression générale
Le signe -4- répond de même à la partie de droite, le signe — à la partie de gauche.
Ainsi, pour la partie de droite de la courbe, les deux rayons vecteurs d’un même point sont
ex
tr
Pt — a
jK)ur la partie de gauche, ces rayons sont
ha et a.
Pour chaque partie, la différence des rayons vecteurs d’un même point est bien égale à aa : ce qui confirme la coïncidence indiquée (127). Le
rapport - est l’excentricité de l’hyperbole.
Parabole.
