Prenons l’équation

y'^ = 7.px.

La courbe est rapportée à son axe et à la tangente au sommet, et l’on doit avoir

^P-htn’=i.

Le terme indépendant étant nul dans l’équation simplifiée de la parabole, il faut identifier immédiatement cette équation avec l’équation focale de la courbe (131). Il vient alors

(i) 1 — /’=!, (a) —7.tni = o, (3) I — w’=o,

(4) P + tn = o, (5) u-hmn=p, (C) o.

L’équation (i) donne l’équation (3) donne

l’équation (a) se trouve alors satisfaite d’elle-même. L’équation ( 4 ) donne à son tour

ce qui entraîne, d’après l’équation (6),

on a d’ailleurs, d’après l’équation (,î).

> X ± tl X p,

c’est-à-dire

d’où

CÉOHÉTRIB A^ALYTIQUE.

a = ^ et n = ±^'

La parabole admet donc un foyer situé sur son axe du côté où la courbe s’étend et ayant pour abscisse c’est-à-dire le quart du paramètre %p de la courbe.

L’équation wx-t-« = o de la directrice revient à

c’est-à-dire à

’ En effet, la relation (5), qui donne = prouve que m et n doivent avoir le même signe.

La parabole a donc une directrice perpendiculaire a son axe, située du

côté où la courbe ne s’étend pas, et ayant pour abscisse de sorte que

le sommet de la courbe se trouve au milieu de la distance du foyer et de la directrice.

Le rapport \Jl*-^m^ est ici égal à i, c’est-à-dire que tous les points de la parabole sont également distants du foyer et de la directrice; ce qui confirme la coïncidence précédemment indiquée (129).

L’expression f‘)' devient d’ailleurs

v/(x — a)^-Hr'= y/ (■*“2) + = X

c’est-à-dire que la distance d’un point de la courbe au foyer est ime Jonction rationnelle et du premier degré de l’abscisse de ce point. Les rayons vecteurs issus du foyer de la courbe sont égaux à l’abscisse du point considéré .sur la courbe, augmentée du quart de son paramètre %p.