PROPRIÉTÉS DE L'ELLIPSE
Rappel des notions précédentes.
136. L’équation d’une ellipse peut toujours être ramenée à Ja forme
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. l4'J
Si l’on suppose a'^b, la courbe a aa pourg-ranrf aa:e, aipour petit axe. L’origine des coordonnées est un centre. La courbe a quatre sommets, qui sont les points de rencontre de l’ellipse avec ses deux axes. La valeur
:lfc- \Ja} — j-% a
déduite de l’équation de la courbe, prouve que la valeur de x étant comprise entre les limites -h a et — a, celle de y est comprise entre les limites -\-b et — b. Pour l’arc BA 65), X croissant de o à a, / décroît de i à o.
On obtient les foyers F et F', en décrivant du point B comme centre avec a pour rayon un arc de cercle. Cet arc vient couper le grand axe aux points F et F' ; on a en effet
OF=OF'=v/'«' — b'~c.
Si l’on veut construire les directrices de l’ellipse, il suffit de se rappeler (133) que leur équation est
On prendra donc sur l’axe O r une longueurOE = a, on joindra le point E aux deux foyers, et l’on élèvera respectivement au point E, sur les droites EF', EF, jusqu’à la rencontre du grand axe, les perpendiculaires ED, ED'. Les points 1) et D' seront évidemment les pieds des bissectrices DL, D'L'.
Si l’on considère un point M quelconque pris sur la courbe, le rayon vecteur MF aura pour expression
ex
le rayon vecteur MF' aura pour expression
ex
La courbe a bien la forme indiquée sur la figure; ce dont on se rend compte en remarquant que le coefficient angulaire
de la tangente —i décroît depuis o (pour .r=o, y=b)
jusqu’à — 00 (pour x — a, y=o). L’arc BA tourne donc constamment sa convexité vers les y positifs (82).
La distance OM du centre au point M ayant pour expression, III. lO
I46 GÉOMÉTniE ANALYTIQUE,
(l’nprès l’cqiialion de l’cllipsc.
atieinl son maximum a pour x—a, son minimum b pour
Si l’on considère un point intérieur à l’ellipse, il aura, en valeur absolue, une ordonnée inférieure à celle du point de la courbe qui a la même abscisse; si l’on considère un point térieur à la courbe, il aura, en valeur absolue, une ordonnée ou une abscisse supérieure à celle du point de la courbe qui a la même abscisse ou la même ordonnée. Par suite, selon qu’un point (x,y) est intérieur à l’ellipse, extérieur à l’ellipse ou lui appartient, on a
ou
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rt’ O’ a’ O’
b'x’ — o, à'^'^-hb’x' — o,
Enfin, il est évident que, pour un point N intérieur à la courbe, on a pour la somme des rayons vecteurs
NF+NF'<2a.
Pour un point N extérieur à la courbe, on a au contraire NF + NF’> sa.
137. Considérons sur l’ellipse un point M ayant pour ordonnée MP et pour abscisse OP [Jig- 65). On aura, d’après l’équation (2),
MP’ =-Ja'— OP’) =-,(«-!- OP) (a — OP) = ^ . A' P . AP, rt’ a’ ' 'a’
d’où
