F'M = 2« — FM

L’inégalité précédente devient alors

2 c ^ 2 « — 2 FM ou F.M > a — c.

Il en résulte alors

F'M<rt-i-c.

Il faut donc bien, comme nous l’avons supposé, que FM soit plus grand que .\F et plus petit que FA'.

Les mêmes rayons pouvant être successivement employés en pienanl les deux foyers comme centres, chaque valeur assignée à FM permettra de déterminer quatre points M, M', M", M”*, de l’ellipse, deux à deux symétriques par rapport aux axes de la courbe.

En considérant toujours l’ellipse comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante, on peut décrire mécaniquement la courbe comme il suit. On n’a qu’à fixer aux deux foyers les extrémités d’un fil inextensible de longueur ia. En tendant ce fil à l’aide ^d’une pointe et en la faisant glisser dans le plan, on aura tracé l’ellipse lorsque la pointe sera revenue au point de départ.

139. Seconde construction. — Décrivons une circonférence sur le grand axe de l’ellipse comme diamètre. 81 nous représentons par Y l’ordonnée d’un'poinl M' de la circonférence et par y l’ordonnée du point M de l’ellipse ijui a la même' abscisse, nous aurons

= = rt’ à’.

lO.

Par suite,

Y = y/fl’ — x\ y = ^\ja} — a:’.

Il en ré.sulle

r b Y — fl

Ainsi, l’ordonnée de l’ellipse est à celle du cercle circonscrit dans le rapport constant du petit axe au grand axe. On passera donc de la circonférence à l’ellipse, en diminuant toutes les ordonnées de la circonférence dans un rapport donné, ou de l’ellipse à la circonférence en augmentant toutes les ordonnées de l’ellipse dans un rapport donné.

On pourrait faire des remarques analogues, mais inverses, en comparant les abscisses de l’ellipse à celles de la circonférence décrite sur son petit axe comme diamètre.

L’importante propriété qu’on vient d’indiquer permet de tracer l’ellipse par points. Décrivons sur le petit axe de l’ellipse comme diamètre une seconde circonférence [Jig. 67). Sur la circonférence a, prenons un point quelconque M' ayant pour ordonnée M' P; menons le rayon OM' qui rencontrera la circon- ,férence b au point Q; par le point Q, menons au grand axe la parallèle QM jusqu’à la rencontre de l’ordonnée M'P: le point M appartiendra à l’ellipse. On aura bien, en effet,

MP OQ è M'P~ OM'~a’

140. Troisième construction. — Soit une droite AB dedongueur constante, astreinte à glisser par ses extrémités sur deux droites rectangulaires Ox et Oy[Jig. 68). Prenons un point quelconque M sur cette droite ou sur son prolongement, posons AM = a, BM = 6, et cherchons le lieu qu’engendrejle point M pendant le mouvement de la droite AB.

On a immédiatement, d’après la figure et dans les deux positions du point mobile.

d’où y —

Le lieu engendré est donc une ellipse dont les axes sont a et 26. Dans le premier cas, la droite AB est la demi-somme a-f-6 des deux axes de l’ellipse; dans le second, elle est leur demidifférence a — b.

On est ainsi conduit, à une ou, plutôt, à deux nouvelles constructions de l’ellipse soit par points, soit d’un mouvement continu.

-Tl

GÉOMÉTRIE analytique.

Tangente et normale.

141. L’équation de la tangente à l’ellipse en un point (.r,, r.) est immédiatement (73), d'après l’équation de la courbe,

On a, en effet, dans ce cas, F'

d’où

Il faut joindre d’ailleurs à l’équation de la tangente l’équation de condition

L’équation de la tangente qu’on peut écrire «Vr-— «’rî = — b'xx,-yb'x\, ou, en divisant les deux membres par d‘b\

a’ b' a’ 6* ’ revient donc à celle-ci :

XX, yy,

Pour construire la tangente, on peut chercher les points où elle coupe lés axes. Si l’on suppose j = o, on trouve

si l’on supposé x = o, on trouve

Ainsi chaque coordonné de la tangente par rapport à l’origine ne dépend que de la longueur de l’axe correspondant et de la coordonnée du point de contact sur cet axe. On en déduit immédiatement un moyen simple de construire la tangente en un point donné de l’ellipse.

Soit M le point donné. Décrivons sur le grand axe AA' de

l5o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

l’ellipse line deini-drconférence. Prolongeons l’ordonnée MP jusqu’au point M' situé sur cette demi-circonférence 69). Pour la tangente au point M de l’ellipse ou pour la tangente au point M' de la circonférence, l’abscisse OT à l’origine sera

également — > parce que les deux ellipses considérées ont le