X-\-Xi
Si on les multiplie l’un par l’autre, il viendra
mm'=y^-y\.
Mais le point M et le point D étant sur la courbe, on a
d’où l’on déduit, par soustraction,
c’est-à-dire
mm
La relation qui existe entre le coefficient angulaire d’un diamètre et celui de ses cordes conjuguées, ainsi qu’entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués (148, 149 ), existe donc également entre les coefficients angulaires de deux cordes supplémentaires.
Il en résulte immédiatement {fig. 73) que les diamètres conjugués à deux cordes supplémentaires sont conjugués, ou qu’ere menant par le centre de l’ellipse des parallèles à deux cordes supplémentaires, on obtient un système de diamètres conjugués.
Remarque. — Deux cordes supplémentaires satisfont à trois
l58 GÉOMÉTEIE ANALYTIQUE.
conditions : elles partent d’un même point de l’ellipse, elles aboutissent aux extiéiniiés d’un même diamètre, leurs coeflicients angulaires satisfont en outre à la relation
mm —
Réciproquement, lorsque deux droites rempliront deux des conditions énoncées, elles satisferont nécessairement à la troisième.
Par conséquent : i" si des extrémités d'un même diamètre partent deux droites respectivement parallèles à deux diamètres conjugués, ces droites aboutiront éi un même point de l’ellipse; 2" si d’un même point de l’ellipse partent deux cordes respectivement parallèles à deux diamètres conjusriiés, ces cordes aboutiront aux extrémités d’un même diamètre.
151. Les propriétés précédentes permettent de tracer facilement la tangente à l’ellipse par un point donné sur la courbe ou parallèlement à une direction donnée.
Soit le point M qui correspond au diamètre MM' [fig. 74 ). En menant la corde DD' parallèle au diamètre MM' et en joignant son milieu au centre, on obtiendra le diamètre NN' conjugué du diamètre MM'; en menant par le point M une parallèle au diamètre NN', on aura la tangente demandée (U8, 149).
S’il s’agit de mener une tangente parallèle à la droite LL', on mènera une corde DD' parallèle à LL'. En joignant son milieu au centre [fig- 75), on obtiendra le diamètre MM' conjugué à la direction donnée, et il restera à mener par le point M une parallèle à LL' (148). Le point M' correspondra à la seconde solution possible.
152. On peut demander de trouver entre quelles limites varie l’angle de deux diamètres conjugués ou de deux cordes supplémentaires .
L’équation d’un diamètre quelconque étant l’équation
de son conjugué sera ^en vertu de la relation mm' =■ — — ^
bj
Si le premier diamètre MM' {Jig. 76) fait un angle aigu avec. Oa:, le second diamètre NN' fera donc un angle obtus avec cet axe.
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Si l’on désigne par a l’angle NOM, on aura
tanga =
a'm A’-f-a’wi’
Cherchons la dérivée de tang a par rapport à ni. Nous aurons [Cornpl. d’Jlg., 137)
c' [b'‘ ->r (i‘ ni') — j-c'c'in' n' m' — f>\ é
c* ni' c‘iH'
Cette expression devient nulle pour
ou pour
D’ailleurs, si l’un des diamètres a pour coefficient angu-
laire±~» son conjugué (en vertu de la relation mm' = — — Il a ^ b
aura pour coefficient angulaire qz -• /
Les deux diamètres conjugués qui font à la fois l’angle maximum et l’angle minimum, sont donc les diagonales du rectangle STUV circonscrit à l’ellipse.
Le maximum de a étant l’angle NOM, son minimum corrélatif est MON'.
w. ■ b'-if-a'm' 1. . ,
L expression tang a = 1 angle de
deux diamètres conjugués ne peut être droit que pour m — o
ou m = oo ; mais alors le coefficient angulaire ; — du se-
a' ni
cond diamètre est égal à oo ou à o ; ce qui montre, comme on le savait déjà, que les axes de l’ellipse sont les seuls diamètres conjugués rectangulaires.
133. Remarques. — I. Aux cordes supplémentaires qui correspondent aux extrémités d’un certain diamètre, on peut toujours mener, par les extrémités de tout autre diamètre, des parallèles qui formeront aussi un système de cordes supplémentaires (150, /fem.). Par conséquent, si l’on veut étudier complétementlesvariationsdel’anglc formépar deux diamètres conjugués ou deux cordes supplémentaires, on peut considérer celles qui aboutissent aux extrémités du grand axe, >• et x
l6o GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
représentant les coordonnées d’un point quelconque de l’ellipse, les coefficients angulaires de ces cordes auront pour expressions
m = — : et m' = — = ,
d’où, en désignant leur angle par a,
, m — m' 7.ay
tanga= , =
® i-l-Him' .r’-hj' — rt‘
Le point (y, x) appartenant à l’ellipse, on aura
d’où
c’est-ù-dire
g’jt’ x' — a- b',
tang a =
ctab^
