ab
Il suffira de faire varier y ûe o à b pour obtenir toutes les variations de l’angle a, et, par suite, celles de l’angle supplémentaire.
II. Pour tracer deux cordes supplémentaires ou, ce qui revient au même, deux diamètres conjugués faisant un angle donné, il suffit de construire sur l’un des diamètres de l’ellipse un segment capable de cet angle. En joignant aux extrémités du diamètre considéré l’un des points d’intersection de la circonférence décrite et de l’ellipse proposée, on obtiendra un système de cordes supplémentaires répondant à la question.
154. Les diamètres conjugués dont t angle est un maximum ou un minimum, étant également inclinés par rapport aux axes (152), sont égaux entre eux en vertu de la symétrie de 'la courbe (136). On peut se demander si l’ellipse admet d’autres diamètres conjugués égaux.
S’il en existe d’autres, ils sont, comme les diamètres OM et ON {Jig- 76), également inclinés par rapport à l’axe AA' de chaque côté de l’axe BB', c’est-à-dire que si m représente le coefficient angulaire de l’un d’eux, le coefficient angulaire m' de l’autre est nécessairement égal à — m. Pour les diamètres conjugués égaux, et pour ceux-là seulement, la relation
mm! — — ^devient donc
ce qui nous ramène aux diamètres conjugués dont l’angle est maximum ou minimum.
155. Le demi-diamètre OM [Jig- 77) est moindre que a, mais le demi-diamètre conjugué ON est plus grand que b ( 136); quand l’un augmente, l’autre diminue, puisque les équations
des deux diamètres sont v = mx et r= ^ U y a
donc lieu de chercher s’il n existe pas une relation constante entre les longueurs de ces demi-diamètres.
Désignons par x' , y', et x",y" , les coordonnées des extrémités M et N des demi-diamètres conjugués OM et ON. Soient a! et b' les longueurs de ces demi-diamètres. On aura
a'>z=x'’-hy'\ b'^=x"'-yy"’.
Les coefficients angulaires des deux diamètres étant exprilés par 1 générale
de sorte qu’on aura On en déduit
niés par les rapports et devront satisfaire à la relation
mm — »
Les points (x',y'} et (a:", y') étant sur l’ellipse, on a
Il en résulte, en substituant dans la relation précédente et en simplifiant,
d’où
(i) x'*-|-x"*=a’ ou — r -) = 1.
Mais les équations de condition
l6a GÉOMÉTRIE ÀNiLTTIQGE.
prouvent alors immédiatement qu’on a aussi
•rü
c’est-à-dire
Ajoutant les équations (i) et (2), nous aurons {x'>-hx''] + {x"'-h r ) = «’ -H b\ c’est-à-dire, en remplaçant les parenthèses parleurs valeurs, a'’-t- 6" = a>-|- 6’.
Lasommedes carrés de deux diamètresconjugués (4 a"-l-4 est donc constante et égale à la somme des carrés des axes
156. Menons les tangentes aux extrémités des diamètres conjugués MM', NN'; nous formerons un parallélogramme circonscrit à l’ellipse, dont les côtés seront égaux aux deux diamètres conjugués et dont les angles seront ceux de ces diamètres. Cherchons l’expression de l’aire d’un pareil parallélogramme.
Le parallélogramme construit sur les demi-diamètres OM et ON en sera le quart. Son aire aura pour expression OM = a', multipliée par la perpendiculaire ND abaissée du point N sur OM (Jîg. 77). Or x=mx étant l’équation de OM, et le point N ayant pour coordonnées x" eljr", on aura (45)
y/ 1 -f- m’ \Jx''+j'”
en remplaçant m par sa valeur^; et l’aire du parallélo-
gramme construit sur OM et ON sera (puisque a'^= x”-^-x'')
Mais
Si l’on remplace sd' et x'"^ par leurs valeurs déduites de l’équation de l’ellipse, et si l’on tire de la relation générale
X x" rt’
jyr ,
il viendra ( 155)
{X'’x' — x' x" y = a’ (x'‘ -hx"’) —
L’aire parallélogramme construit sur
deux diamètKs conjugués est donc constante et égale à celle {^ab) du rectangle construit sur les axes.
En désignant par x l’angle des deux diamètres conjugués, on peut exprimer l’aire du parallélogramme construit sur les demi-diamètres par a’ b' sina. Les axes et doux diamètres conjugués quelconques sont donc liés, dans l’ellipse, par les relations
a"-i- i'' = a'6'sin« = a6.
157. Remarques. — 1. Les deux théorèmes importants qu'on vient d’éublir (155, 150} sont connus sous le nom de théorèmes A’ Apollonius, illustre géomètre grec qui les a découverts.
IL A chaque parallélogramme circonscrit à l’ellipse en appliquant la construction précédente (156), correspond un parallélogramme inscrit ayant pour diagonales les diamètres conjugués parallèles aux côtés du parallélogramme circonscrit. Le parallélogramme inscrit aura pour mesure 2 a' b' sin x ( Trig., 59). Donc chaque parallélogramme inscrit axant pour diagonales deux diamètres conjugués, est la moitié du parallélogramme circonscrit correspondant.
Équation de l’ellipse rapportée à nn système de diamètres conjngnés.
158. Si l’on prend pour axes coordonnés deux diamètres conjugués, l’équation de l’ellipse devra, pour chaque valeur de l’une des variables, donner deux valeurs de l’autre variable égales et de signes contraires; en effet, chaque diamètre divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre. L’équation de la courbe sera donc alors nécessairement de la forme
M v’-f-N2;’-+-P = o ou
Désignons par xa' et xb' les longueurs des diamètres conjugués pris pour axes. Nous aurons, en faisant 7* = o dans
l’équation,
d’où
De inènie, en faisant .r = o, on aura
d’où
Par conséquent, l’équation de l’ellipse rapportée A un système de diamètres conjugués est
a' et b' représentant les longueurs des demi-axes obliques.
Cette équation étant de même forme que l’équation de l’ellipse rapportée à ses axes, toutes les propriétés et toutes les équations qui ne dépendent dans ce cas que des axes ia et 7. b, dépendront d’une manière identique des axes 7a' et 7b' lorsque l’ellipse sera rapportée à un système de diamètres conjugués.
Par exemple, l’équation de la tangente à l’ellipse au point [xi, yi) étant, dans le premier système.
XX
rr- ,
ht
cette équation sera, dans le second système.
XX
rr.,
159. Rien, d’après ce rapprochement, n’est plus facile que de construire une ellipse dans laquelle on connaît deux diamètres conjugués et l’angle qu’ils forment entre eux.
En effet, si sur une perpendiculaire élevée par le centre de l’ellipse au diamètre MM' {fig- 78), on prend
et si l’on décrit une ellipse (139) sur MM' et sur BB' comme axes, l’ellipse construite et l’ellipse cherchée auront les
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. l65
inêmes ordonnées pour des abscisses égales, en vertu de leurs équations identiques (158). Par conséquent, l’ordonnée PC correspondant à l’abscisse OP sur la première ellipse, il suffira de reporter la longueur PC sur la parallèle menée au diamètre NN' par le point P, pour avoir en Q un point de la seconde ellipse.
On pourrait aussi déterminer directement les axes de l’ellipse demandée. Nous reviendrons sur cette question (170).
100. Lorsque l’ellipse est rapportée à ses diamètres conjugués égaux, son équation prend la forme
Cette forme rappelle l’équation du cercle rapporté à des axes rectangulaires passant par son centre.
Quadrature des au'es planes, /v
161. Soit AB une courbe quelconque rappoAée rectangulaires, et soit j=F(x) son équation. Considérons sur cette courbe deux points M et M' situés d’un même côté de l’axe des x. L’aire limitée par l’arc MM', les ordonnées MP, M'P' et la portion d’axe PP', tombera entre les deux rectangles MPP'Q, M'P'PQ', si l’on suppose l’ordonnée de la courbe constamment croissante ou décroissante de M en M'. Si j et x représentent les coordonnées du point M, j-t- Aj et x + ùsx représenteront les coordonnées du point M'. En désignant par U l’aire MM' PP', on aura alors
J. Aar < M < ( J -h Aj) A.r,
d’où
Si le point M' se rapproche indéfiniment du point M, Ay tendra vers zéro, et tendra vers la dérivée u’ de l’aire deman- Ax
dée considérée comme fonction de l’abscisse x. On pourra donc poser à la limite
Ainsi, la dérivée de l’aire définie plus haut et l’ordonnée de la courbe correspondante sont représentées par la même fonction de x.
En remontant dans les cas simples à la fonction primitive (Compl. d’Alg., 158), on pourra donc trouver la valeur de u.
l66 GÉOMÉTRIE ANILTTIQUE.
En désignant par 9(x) une fonction primitive de F (a:) et par C la constante orbitraire, on aura
u = Çf (x) -h C.
Si l'on connaît alors la valeur de u pour x = m, par exemple, on aura en outre l’équation de condition
d’où
11 viendra, par suite,
d’où
Cette équation fera connaître l’aire comprise entre les ordonnées qui correspondent aux deux valeurs m et a: de l’abscisse.
Remarque. — Si les axes étaient obliques, on aurait, pour aires limites, des parallélogrammes au lieu de rectangles. Par conséquent, on devrait prendre «'= rsin6, en désignant par 0 l’angle des axes.
Application à l’Ellipse.
162. Soit une ellipse rapportée à ses axes ia et 26. Décrivons une circonférence sur le grand axe AA' comme diamètre (fig. 80). Si l’on considère dans l’ellipse et dans le cercle les aires MM' PF, NN'PP', correspondantes aux mêmes abscisses OP et OP', on aura, en désignant ces aires par m et U et les ordonnées des deux courbes par y et Y,
Mais (139)
par suite.
Les deux fonctions « et - U ayant des dérivées égales, ne
peuvent différer que par une constante, de sorte qu’on aura d’une manière générale
Si l’on part de l’origine, on a à la fois, pour x = o, u = o et
U = o; donc C = o, et il reste simplement
Pour avoir l’aire du quart de l’ellipse, il suffira de remplacer U par l’aire du quart de cercle, en faisant varier x depuis O jusqu’à a. Il viendra alors, S représentant la surface entière de l’ellipse,
I 6 TT a’
d’où
S = nab.
L'ellipse est donc équivalente au cercle qui a pouf rayon ■une moyenne proportionnelle entre les demi-axes a et b; ou bien, l’ellipse est moyenne proportionnelle entre les deux cercles décrits sur ses axes comme diamètres.
Il est utile de remarquer que le rapport des triangles
ÜPM, OPN, est égal à - comme celui des deux segments
OPMB, OPNQ. Les deux secteurs, elliptique et circulaire, 0MB, ONQ, sont donc dans le même rapport, et l’on peut écrire
b b I I , arc NQ
0MB = - • ONQ = - • - a. arc NQ = -ab
a ai 2 a
arc NQ a
représente l’angle NOQ ou l’arc qui lui correspond
dans le cercle de rayon i ; cet arc a pour sinus -• On posera donc
secteur 0MB = -ab. arc sin - •
Si l’on suppose x = a dans cette formule, il faut remplacer
