TT

arc sin - par et il vient a 2

secteur OAB = ,

comme cela doit être.

Si l'ellipse avait été rapportée à un système de diamètresconjugués 2a' et ib', les mêmes raisonnements auraient conduit à la formule

S = TT a' 6' sin 0;

• d’où l’on conclurait, si on ne le savait déjà (156),

rt'6'sin0 = flft.

De l'Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle.

163. Supposons un cercle rapporté aux diamètres rectangulaires AA' et Ç.C (fig, 8i). Par le diamètre AA', faisons passer un plan de projection quelconque. Projetons les différents points de la circonférence sur ce plan, ces points formeront line ellipse.

En effet, les points G, N,..., ayant pour projections les points B, M, ..., abaissons dans le plan du cercle les perpendiculaires CO, NP,..., sur le diamètre AA', et menons dans le plan de projection les droites BO, MP,.... Dans le plan du cercle, les perpendiculaires CO, NP,..., seront les ordonnées Y des différents points de la circonférence; dans le plan de projection, les droites BO, MP,..., seront les ordonnées^ de la courbe obtenue en projection (Géom., 164), rapportée aux axes rectangulaires AA' et BB'.

Ceci posé, V étant l’angle du plan du cercle avec le plan de projection, les triangles COB, NPM,..., donneront d’une manière générale

X=\ cos V.

Si l’on désigne d’ailleurs AA' par aa et BB' par 26, on aura dans le triangle COB

cos V = -1 a

d’où

ce qui démontre le théorème énoncé (139). L’ellipse obtenue a pour grand axe le diamètre a a du cercle projeté et pour petit axe aacos V.

La réciproque de cette proposition est vraie. Si l’on suppose que le plan de projection passe par le petit axe de l’ellipse

(139), et dans le cas unique de cos V = la projection ortho-

gonale de l’ellipse sera un cercle ayant 26 pour diamètre.

164. On peut, en s’appuyant sur le théorème qu’on vient de démontrer, retrouver d’une manière très-simple plusieurs des propriétés précédentes.

Deux droites parallèles ayant des projections parallèles, et le milieu de la projection d’une droite étant la projection du milieu de cette droite ; ,

Les diamètres du cercle {fig. 81) se projettent suivant des diamètres de l'ellipse; la tangente au cercle a pour projection

GÉOMÉTRIE AHALTTIQtJE. 169

une tangente à l’ellipse; comme la droite qui joint le point de concours de deux tangentes à la circonférence au centre de cette circonférence, passe par le milieu de la corde des contacts, il en sera de même pour F ellipse; enfin, les diamètres conjugués de F ellipse sont les projections des diamètres rectangulaires du cercle.

Ceci posé, considérons dans le cercle deux demi-diamètres rectangulaires ON, OL, ayant pour projections les deini-diamètres conjugués de l’ellipse OM, OÔ. Les angles NOP, LOR, sont complémentaires; les triangles rectangles NOP, LOR, sont donc égaux [fig. 8i); par suite,