OP=LR, NP = OR

Si l’on désigne par a' et b' les demi-diamètres conjugués de l’ellipse (dont les demi-axes sont» et b), il viendra donc

OP’-l- MP*='OP'-+- - ■ NP’, a}

b” = OR’+ QR== OR’-h - • LR» = NP’-f- - . OP’.

En ajoutant, nous aurons

a'’-t-è'’=(OP’4-NP’) = a’ +

c’est-à-dire

D’autre part, la projection d’une aire plane sur un plan étant égale à l’aire projetée, multipliée par le cosinus de l’angle que son plan forme avec le plan de projection ( Trig., 18), et tous les carrés circonscrits au cercle étant égaux, tous les parallélogrammes circonscrits à l’ellipse dont les cotés sont respectivement parallèles à deux diamètres conjugués, seront équivalents entre eux et au rectangle construit sur les axes et aft. Chacun d’eux, en effet, équivaudra au carré circonscrit correspondant, multiplié par cos V. En désignant par a. l’angle des diamètres conjugués dont les longueurs sont 2a' et 2b', on aura donc d’une manière générale

fl'6'sin a = ab.

On retrouve ainsi très-simplement les deux théorèmes d’Apollonius.

On aura aussi, d’après le principe rappelé, et en désignant par S l’aire de l’ellipse,

S = rr a- . cos \ =r.a- = t:ab.

GÉOMÉTEll ANALYTIQUE.

Questions diverses.

165. I. ie.v perpendiculaires abaissées des foyers de l’ellipse sur une tangente à la courbe, ont pour moyenne proportionnelle le demi petit axe.

Nous prendrons l’équation de la tangente sous la forme (IM) y — mx — ^cFuF^yb’ = o.

Comme les coordonnées des deux foyers sont o et c, o et — c, leurs distances à cette tangente auront pour expressions (45)

^ — me — me —

^i-\- né ’ 4- né

On aura donc

gÿ! a’né + b’ — m^c’’ — c‘)m'‘