I -f- mm

Si l’on considère les équations (i) et (a) comme simultanées, jet x représenteront les coordonnées du point d’intei^ction des deux tangentes ou du sommet do l’angle mobile. On déduira de l’équation (i)

(j — OTx)’ = fl’ra’-l-i’,

d’où, en ordonnant par rapport à /«,

(4) {a‘ — x‘)m^ -\-ikxy . m + b* — j’=o.

Le résultat fourni par l’équation (a) traitée do la mémo manière ne différerait du précédent que par le changement de m en m'. Par suite, l’équation (4) a pour racines m et m'. On aura donc

rn-\-m = = — ^ et mm' = -, — j

d’où

.rr—rrjTi — riirr. %\/a^y'+b'‘x‘—d‘b‘

m — /w = i — Lmni = ■ ■ , > ■ ■■■ •

L'équation (3) deviendra alors

tangas

telle sera l'équation du lieu.

Si, pour la discuter, on veut l’élever au carré, on arrivera à une équation du quatrième degré irréductible et qui renfermera à la fois le cas do l’angle a et celui de son supplément — a, puisque

tang’a = tang’ (w — a).

Si l’on suppose riroit l’angle des deux tangentes, on doit poser

c’est-à-dire

i-i-mm'= O, b'— y''

On trouve alors pour l’équation du lieu

•c’-f- j’ = fl’ -p 6’.

Ainsi, le lieu décrit par le sommet d’un angle droit circonscrit à une ellipse est une circonférence de cercle concentrique à l'ellipse donnée et ayant pour rayon \/a^+ b', c’est-à-dire circonscrite au rectangle construit sur les axes de l’ellipse.

168. rV. Trouver le lieu des sommets des parallélogrammes circonscrits à une ellipse donnée, et qui correspondent à des diamètres conjugués.

Les droites qui joignent les milieux dos côtés d’un des parallélogrammes considérés étant des diamètres conjugués, et les équations de « deux côtés adjacents de ce parallélogramme étant

(i) y = mx \l a’ m’ ,

les coefficients m et m' devront'satisfaire à la relation générale qui lie les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués. On aura donc l’équation de condition

mm' =

D’après le problème précédent (167), l’équation qui donne les valeurs de m et de /«' en fonction des coordonnées 7 et x du sommet du parallélogramme qui correspond aux côtés considérés, est

On aura donc

(«’ — x'-) nd ixy . — /’= o.

mm' =

Portant cette valeur dans l’équation (3), il viendra

d’où

c’est-à-dire

telle est l’équation du lieu. Cette équation représente une ellipse concentrique et semblable à l’ellipse proposée. Les axes de cette nouvelle ellipse sont -xas/ô, et 2Ô \J-x .

169. V. Si l’on mène une normale à l’ellipse en un fioint donné de la courbe, le carré de l’un des demi-axes est une moyenne proportionnelle entre les segments déterminés sur la normale , à partir du point de contact, par l’autre axe et un diamètre perpendiculaire à cette normale. L’équation de la normale au point (.r, , y,) étant (142)

elle coiqæra l’axe des 7 en un point qui aura pour ordonnée et

eÉOMÉTHIE ANALYTIQUE.

dont la distance au point de contact sera

Le diamètre perpendiculaire à la normale considérée ou parallèle à la tangente corresjiondante, a pour équation

La distance du point do contact à ce diamètre sera donc

rj’=

il viendra, par suite,

ce qui démontre le théorème.